曲线曲面积分的关系

假设L为xoy面上的一个密度不均匀分布的弯杆，设L的方程为y＝y(x)，其上任意一点的密度为μ(x,y)，且μ为连续函数。为计算弯杆总质量M，我们先利用L上n-1个点将其等分成n份，每一段小弧长度用ds表示。只要n充分大，那么每一小段的密度μ可以近似视为常量，从而利用微元法，我们可以轻松得出，总质量为

这种积分，我们将其称为(平面)第一型曲线积分。

假设平面xoy上有一物体M，受到变力F(x，y)的作用，沿着曲线L，从A点运动到了B点，如何求变力F所做的总功呢？我们采取的方法是

首先，我们将力F(x,y)正交分解为水平方向的分力P(x,y)和竖直方向的分力Q(x,y)，那么很明显，合力F所做的总功，等于水平方向分力P(x,y)所做的功和竖直方向分力Q(x,y)所做的功(注意，功是标量，本身没有方向，我们分解的只是力！)

然后采用我们之前在计算“不均匀平面弯杆的质量”时用过的微元法----取L上n-1个点将其等分成n份，每一段小弧长度用ds表示。只要n充分大，那么每一小段的分力P和Q均可以近似视为常量，与x,y无关。从而利用微元法，我们可以轻松得出，水平方向分力P所做的总功为W1＝∫P(x,y)dx，积分域为L；竖直方向分力Q所做的总功为W2＝∫Q(x,y)dy，积分域也为L，所以变力F沿曲线L从A到B所做的总功为

这种积分，我们将其称为(平面)第二型曲线积分。

(一)区别

两类曲线积分之间的区别确实太多了。

首先，它们的背景意义不同，这便是重要区别之一；

其次，根据背景意义，我们可以轻松得出，第一型曲线积分，是没有方向性的，它不依赖于积分曲线L的走向(因为质量M与L的方向无关)。而第二型曲线积分的值，明显依赖与积分曲线L的方向(因为从背景意义来说，即使力的大小方向不变，但是物体如果沿着L从B到A反向运动，则F所做的功会变为相反数)

(二)联系

二者的联系，可以从纯数学角度推导，具体推导过程此处略去，其转换公式为

其中，α和β是有向曲线L在点(x,y)的方向角。

下面，我从物理意义的角度来解释该转换公式为何成立——

我们采取两种不同的方式计算【变力沿曲线做功】的问题。

第一种方式便是第二类曲线积分，方法为“力的正交分解+微元法”，将力分解为水平方向的P和竖直方向的Q，前文已有描述，此处不再赘述，只给出公式为

第二种方式，是建立在第一种方法的基础上，区别只是将P和Q共同投影到了物体运动方向，如图所示

设有向曲线为L，曲线在点(x,y)处切向量的方向角分别为α和β，切线记为l。

为了算F所做总功，先将F正交分解为P和Q，再将P和Q投影到物体运动方向。根据图示，P在l方向的投影力的大小为Pcosα，Q在l方向的投影力的大小为Qcosβ，所以合力F在运动方向的分力大小等于:

再次使用微元法，我们可以轻松得出力F所做的总功为

由①②立得

最后，再次感谢楼下的匿名大佬提供的公式代码。