11 中心极限定理

独立中心极限定理如下两图所示：

此外，据wikipedia上的介绍，包括上面介绍的棣莫弗-拉普拉斯定理在内，历史上前后发展了三个相关的中心极限定理，它们得出的结论及内容分别是：

1776年，拉普拉斯开始考虑一个天文学中的彗星轨道的倾角的计算问题，最终的问题涉及独立随机变量求和的概率计算，也就是计算如下的概率值，令 Sn=X1+X2+⋯+Xn, 那么 在这个问题的处理上，拉普拉斯充分展示了其深厚的数学分析功底和高超的概率计算技巧，他首次引入了特征函数(也就是对概率密度函数做傅立叶变换)来处理概率分布的神妙方法，而这一方法经过几代概率学家的发展，在现代概率论里面占有极其重要的位置。基于这一分析方法，拉普拉斯通过近似计算，在他的1812年的名著《概率分析理论》中给出了中心极限定理的一般描述：

[定理Laplace，1812]设 ei(i=1,⋯n)为独立同分布的测量误差，具有均值μ和方差σ2。如果λ1,⋯,λn为常数，a>0,则有 这已经是比棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理更加深刻的一个结论了，在现在大学本科的教材上，包括包括本文主要参考之一盛骤版的概率论与数理统计上，通常给出的是中心极限定理的一般形式：

[Lindeberg-Levy中心极限定理] 设X1,⋯,Xn独立同分布，且具有有限的均值μ和方差σ2，则在n→∞时,有 多么奇妙的性质，随意的一个概率分布中生成的随机变量，在序列和(或者等价的求算术平均)的操作之下，表现出如此一致的行为，统一的规约到正态分布。 概率学家们进一步的研究结果更加令人惊讶，序列求和最终要导出正态分布的条件并不需要这么苛刻，即便X1,⋯,Xn并不独立，也不具有相同的概率分布形式，很多时候他们求和的最终归宿仍然是正态分布。

在正态分布、中心极限定理的确立之下，20世纪之后，统计学三大分布χ2分布、t分布、F分布也逐步登上历史舞台： 如上所述，中心极限定理的历史可大致概括为：

中心极限定理理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布；

1812年，法国数学家拉普拉斯在其巨著 Théorie Analytique des Probabilités中扩展了棣莫弗的理论，指出二项分布可用正态分布逼近；

1901年，俄国数学家李雅普诺夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明。

如今，中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理。