动力学模态分解介绍

动力系统理论和拟序结构

拟序结构是自然和工程系统中常见的现象，随着时间变化，流动中产生的拟序射流和涡流在湍流、行星大气、海洋洋流以及化学混合等问题中显得尤为显著。在数学、物理和工程学科中，如何客观地识别和预测这些特征一直是一个备受关注的问题，因此出现了多种技术来实现这一目标。这些技术与动力系统理论密切相关，不同的方法强调了不同的方面，例如几何/状态空间视角，或算子理论/概率视角（当然这种分类并不严格，因为有些方法结合了两个视角）。

拉格朗日拟序结构（LCS）方法是一种基于动力系统几何视角的拟序结构探测方法，利用庞加莱提出的几何方法，围绕微分几何、轨迹和不变流形的概念构建框架。然而，几何观点往往无法适用于实际系统中的许多情况。为了解决高维非线性动力学演化问题，Budisic等[1]提出了使用算子理论来解决相应问题，其中Koopman算子[2]是流动问题中最常用的。Koopman理论表明，非线性演化过程可以通过一个线性坐标来捕捉其完整的非线性动力学行为，分解得到的Koopman模态可以看作是流场演化的时空拟序结构。基于算子理论的方法可以为基于线性系统理论的非线性动力学系统的预测估计以及控制提供很大的潜力，并且不需要牺牲部分信息，因为全局线性坐标可以捕捉到所有信息。然而，这种方法也存在一些弱点，即与物理直觉没有直接的联系，需要将思路从考虑状态空间中点的轨迹演化转化为考虑特征函数或者观测量的演化。

Kooman理论和动力学模态分解

基于Koopman算子的数据驱动方法是由Mezic[3]于2005年提出的，即通过广义拉普拉斯分析发展了一种估计Koopman算子点谱的方法。在之后的工作中，Rowley等人[4]建立了Koopman模态展开与Schmid等[5]提出的动力学模态分解（DMD，Dynamic Mode Decomposition）技术的紧密联系，即将按时间顺序的时空数据集分解为所谓的动力学模态。与本征正交分解（POD）类似，DMD通过求解由实验快照构造的矩阵的特征值问题来提取模态，但DMD替换了POD中所使用的协方差矩阵，而是采用时移交叉相关矩阵，用于捕获下一时间步的快照对当前时间步的快照的线性依赖性。之后，为了提高效率和准确性，研究者提出了多种DMD的求解方法。 Williams等人[6]进一步研究了Koopman模态展开与DMD之间的联系，他们开发了扩展动力学模态分解（EDMD，Extended Dynamic Mode Decomposition ）方法。在EDMD中，Koopman算子的特征值问题被转换为求解与Koopman算子作用到通用观测量字典这一操作相关的有限维矩阵特征值问题上。标准DMD可以看作是由状态向量形成的字典的EDMD的特定实例，但是EDMD中提出的通用方法是使用更丰富的字典，以提高计算出的特征值和Koopman模态的准确性。但是，无论采用怎样的EDMD的计算策略，例如通过支持向量机或深度神经网络等方法获得的这种向更高维度的空间的投影，可能会导致更好的预测结果，却都会损失可解释性。这种方法甚至还会投影到与所考虑的基本物理以及非线性流形的动力学没有自然联系的观测量上。因此，Kutz等人[7]表明，EDMD等方法需要恰当的交叉验证策略来保证该技术的有效性。

常见DMD算法

动力学模态分解（DMD，Dynamic Mode Decomposition）是一种数据驱动的方法，用于从时空数据集中提取动态模式。以下介绍几种常见的DMD算法：

标准DMD算法：标准DMD算法通过对时空数据集进行奇异值分解（SVD），从而求解出DMD矩阵的特征值和特征向量。这些特征向量构成了DMD模态，用于描述时空数据集的动态行为。标准DMD算法的优点在于简单易实现，但对于大型数据集可能会导致计算时间和存储空间的问题。

低秩DMD算法：低秩DMD算法通过对时空数据集进行截断SVD，以缩小DMD矩阵的维度，从而减少计算时间和存储空间的需求。低秩DMD算法的缺点在于可能会丢失数据的一些重要特征。

稀疏DMD算法：稀疏DMD算法通过对时空数据集进行稀疏表示，以减少DMD矩阵的维度，从而减少计算时间和存储空间的需求。稀疏DMD算法的优点在于可以更好地处理大型数据集，但缺点在于可能会引入伪特征。

扩展DMD算法：扩展DMD算法通过对DMD矩阵的字典进行扩展，从而提高对动态行为的描述能力。扩展DMD算法的优点在于可以更好地处理复杂系统，但缺点在于需要更多的计算资源和时间。

动力学模态分解的应用

针对失速机翼流场进行的Koopman分析，大多采用的是动力学模态分解方法。其中Tu等[8]研究了椭圆前缘平板的分离流动，他们对比了POD和Koopman模态，发现当分离点在尾缘附近时，同时有剪切层和远尾迹支持的Koopman模态，而在POD结果中则没有对应的模态，这一模态暗示了不同区域流场结构之间的干扰导致的影响。Mariappan等[9]用DMD分析了实验采集的俯仰翼型周围的动态失速流场，他们主要关注了去除翼型周围流场以及相位平均对于DMD模态结构的影响，这些都是实验采集流场数据时需要考虑的实际问题。Mohan等[10]利用DMD分析了隐式大涡模拟方法求解得到的浮沉SD7003机翼周围的动态失速流场。他们对比了POD模态和DMD模态，并根据DMD模态对应的特征值进行了稳定性分析，尽管实际上Schmid[5]表示这种对于非线性NS方程求解的流场数据的直接DMD计算难以与全局稳定性分析方法等价。另外，他们也利用部分模态进行了流场重构并分析了特定时空拟序结构对于整体流场的贡献。寇等[11]对DMD在流体力学中的应用做了十分详细的总结。另外，寇等采用了带外部输入的DMD方法对非定常流场进行了流场降阶建模[12]，Naderi等[13]也结合DMD和机器学习方法构建了针对大攻角俯仰振荡翼型的降阶模型。因此，基于模态分解的流场降阶模型也具有很大的潜力。 

1.Tu等[8]研究了椭圆前缘平板的分离流动，他们对比了POD和Koopman模态，发现当分离点在尾缘附近时，发现了DMD频谱中除了出现了一个基频及其的几个倍频成分外，还出现了相对于这组谐波的非谐波频率。观察基频和其各级谐波的DMD模态，如图，发现主要为尾迹中交替出现的涡系主导的模态。

 而非谐波成分对应的DMD模态，则明显出现了剪切层小涡的模态，如图。在剪切层中放置探针，测量脉动频率发现和DMD频谱中的非谐波频率一致。这表明这一频率成分是由剪切层小涡主导。

2. 吴等人[14]利用POD和DMD方法对不同间隙压气机旋转不稳定性特性进行了分析

DMD方法将流场按照频率分解为成对出现的不同模态，不同DMD模态从频率和空间周期上也对应着不同的空间周向模态，得到q=1.98%情况旋转坐标系下周向模态的稳定性顺序为RI，RI侧峰等。DMD方法进一步展示了，随叶顶间隙的减小，RI现象逐渐减弱并消失。

POD与DMD方法对空间模态的排序表现出很明显的一致性。这是旋转机械的特点：不同的能量强度的流动结构是由不同频率的转动造成的，对于RI中不同频率的连续模态也是如此。所以按照能量或按照频率对流场进行分解和排序得到了很相近的结果。

参考文献：

[1] Budišić M, Mohr R, Mezić I. Applied koopmanism[J]. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2012, 22(4): 047510.

[2] Mezić I. Analysis of fluid flows via spectral properties of the Koopman operator[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2013, 45: 357-378.

[3] Mezić I. Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions[J]. Nonlinear Dynamics, 2005, 41(1-3): 309-325.

[4] Rowley C W, Mezić I, Bagheri S, et al. Spectral analysis of nonlinear flows[J]. Journal of fluid mechanics, 2009, 641: 115-127.

[5] Schmid P J. Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data[J]. Journal of fluid mechanics, 2010, 656: 5-28.

[6] Williams M O, Kevrekidis I G, Rowley C W. A data–driven approximation of the koopman operator: Extending dynamic mode decomposition[J]. Journal of Nonlinear Science, 2015, 25(6): 1307-1346.

[7] Kutz J N, Proctor J L, Brunton S L. Koopman theory for partial differential equations[J]. arXiv preprint arXiv:1607.07076, 2016.

[8] Tu J, Rowley C, Aram E, et al. Koopman spectral analysis of separated flow over a finite-thickness flat plate with elliptical leading edge[C]//49th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. 2011: 38.

[9] Mariappan S, Gardner A D, Richter K, et al. Analysis of dynamic stall using dynamic mode decomposition technique[J]. AIAA journal, 2014, 52(11): 2427-2439.

[10] Mohan A T, Visbal M R, Gaitonde D V. Model reduction and analysis of deep dynamic stall on a plunging airfoil using dynamic mode decomposition[C]//53rd AIAA Aerospace Sciences Meeting. 2015: 1058.

[11] 寇家庆, 张伟伟. 动力学模态分解及其在流体力学中的应用[J]. 空气动力学学报, 2018, 36(2): 163-179.

[12] Kou J, Zhang W. Dynamic mode decomposition with exogenous input for data-driven modeling of unsteady flows[J]. Physics of Fluids, 2019, 31(5): 057106.

[13] Naderi M H, Eivazi H, Esfahanian V. New method for dynamic mode decomposition of flows over moving structures based on machine learning (hybrid dynamic mode decomposition)[J]. Physics of Fluids, 2019, 31(12): 127102.

[14]吴亚东, 李涛, 赖生智. POD 和 DMD 方法分析不同间隙压气机旋转不稳定性特性[J]. 中文版, 2019, 34(9).