空瓶换水与五猴分桃

“空瓶换水”之一例：如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝几瓶矿泉水？

当提出这个问题时，有些读者可能会不屑：别没事拿什么小学数学的问题来考我！如果是范伟同学，他一定还会再加一句：要整就来中学的！

其实，不管这个问题是不是小学的，但它确确实实出现在了某年国家公务员考试行测的试卷中。

问题和答案都相同，但拿同一道问题针对不同的人提问，其侧重点是不同的，同时，其对参加考试者的思路和分析方法的要求也是不同的。

如果这道题出现在小学试卷中，小学生们会这样计算：第一步：15个矿泉水空瓶=12个矿泉水空瓶+3个矿泉水空瓶。12个矿泉水空瓶可换3瓶水，喝完水后又多出三个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，目前还有6个矿泉水空瓶。第二步：6个矿泉水空瓶=4个矿泉水空瓶+2个矿泉水空瓶，4个矿泉水空瓶可换1瓶矿泉水，喝完又剩下1个空瓶。总共还有3个矿泉水空瓶。第三步：3个矿泉水空瓶貌似不可以再换了，但此时可先借一个空瓶，加上原来剩下的3个矿泉水空瓶，可以换一瓶矿泉水，喝完水后再把空瓶还给借空瓶的人。因此15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水5瓶。

但如果在公务员考试中还这样算的话，对这一题来说，可以；但如果是155,1555个空瓶子呢？按照上述解法显然不能满足行测考题的速度原则。所以，我们应该寻求更好的方法。

由题干条件知“4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水”，那么用数学形式写成恒等式为：

4个矿泉水空瓶=1瓶矿泉水=1个矿泉水空瓶+1瓶水

两边同时减去1个矿泉水空瓶后得：

3个矿泉水空瓶=1瓶水

再用15除以3得5。则15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水5瓶。解答完毕！干净利索，这就是思路和方法的神奇之处。

我们讨论空瓶换水，就是为了讨论思路与方法的重要性。如果有人对此还是不屑一顾，认为即使是15555个空瓶通过第一种思路也能得到最终答案的话，那我们再引入另一个问题“五猴分桃”：

话说山上有5只聪明的猴子，有一天它们得到了一堆桃子，他们发现那堆桃子不能被均匀分5份，于是猴子们决定先去睡觉，明天再讨论如何分配。夜深人静的时候，猴子A偷偷起来，吃掉了一个桃子后，它发现余下的桃子正好可以平均分成5份，于是它拿走了一份；接着猴子B也起来先偷吃了一个，结果它也发现余下的桃子恰好可以被平均分成5份，于是它也拿走了一份；后面的猴子C、D、E依次如法炮制，先偷吃一个，然后将余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份，问：这一堆桃子至少有几个？

这个问题难度貌似大了一些。据说这个“五猴分桃”的问题最先是由大物理学家狄拉克提出来的，这一貌似简单的问题曾困扰住了他，经过努力，他只是获得了相当繁琐的求解方法。为了获得简便的方法，他把问题提供给当时的一些数学家，有意思的是竟然也没有得到满意的结果。在后来者的不断努力下，比较简捷的方法才逐步涌现。诺贝尔物理学奖获得者李政道先生就曾在中国科学技术大学少年班的开班仪式上对“五猴分桃”问题进行适当演绎，提供给了少年班同学。

对“五猴分桃”问题，我们首先采用“空瓶换水”的第一种思路——试验法。既然不知道原来有多少，那我们就从最后枚举地向前推导：

假设最后的那只猴子E拿走了1个桃子，那么包括它吃掉的那只，应该看到了6只桃子；则猴子D连吃带拿后剩下的桃子就是6个，显然不是4的倍数，矛盾！

假设猴子E拿走了2个桃子，那么包括它吃掉的那只，应该看到了11只桃子，则猴子D连吃带拿后剩下的桃子就是11个，也不是4的倍数，矛盾！

假设猴子E拿走了3个桃子，那么包括它吃掉的那只，应该看到了16只桃子；则猴子D连吃带拿后剩下的桃子就是16个，是4的倍数；但是，猴子C连吃带拿剩下的桃子就是21个，这还不是4的倍数，矛盾！

假设猴子E拿走了4个桃子……

如果公布最后答案，这一堆桃子至少3121个，即猴子E拿走的是255个桃子时，采用这种试验方法推导的朋友基本要晕过去了。

这时，作为雪中送炭，提供另一种解法：

设桃子总数为x，则猴子A拿走的桃子数为a1=(x-1)/5；则猴子B拿走的桃子数为a2=(4a1-1)/5；猴子C拿走的桃子数为a3=(4a2-1)/5……

递推关系为an =(4an-1-1)/5，即5an=4an-1-1，即5(an+1)=4(an-1+1)，得an+1=(4/5)n-1(a1+1)，即an=(4/5)n-1(a1+1)-1=(4/5)n-1((x-1)/5+1)-1=(4n-1/5n) (x+4)-1

a5= (44/55) (x+4)-1，则(x+4)必然是55的倍数，要使x最小，则x=55-4=3121。问题得解。

怎么样，不得不承认数学的神奇吧！

当然，这还没完，再来看一个锦上添花的发烧级解法：

题目虽然难在每次都多分1个桃子，实际上可以理解为少4个，那就先借给它们4个好了。尽管桃子多了4个，但每个猴子得到的桃子并不会增多，也不会减少。这样，每次都刚好均分成5堆，就容易算了。在每次分桃子时，这四个桃子都会留存到后一层次的总数中，使得每次分成5份时都恰好是整除。由此可见x+4至少是55的整数倍，所以x的最小值为x=55-4=3121！

呜呼，猴子沸腾了，猴子变成的人也沸腾了。人提出的问题难倒人，难倒人的问题又被人解决，而解决问题的关键就是思路和方法。如果把解决问题比喻成达到某一个胜利的地方，那么赤手空拳去解决就像步行，用一般方法解题就像坐汽车，用高级方法解题就像乘飞机了。生活和工作中有很多问题比这两个问题复杂多了，如何快速有效地解决，这需要我们先找到创新的思路和方法。就像一个小幽默中说的：

老师问：是不是我的问题难倒了你？

学生答：不是的。是解题的步骤把我难倒了。