详细推导机器人学中常用的刚体旋转动力学（角动量定理、惯量张量、欧拉动力学方程）

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详细推导机器人学中常用的刚体旋转动力学（角动量定理、惯量张量、欧拉动力学方程）

2024-06-03 13:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

刚体定点转动&欧拉动力学方程的推导 1. 刚体定点转动的角动量

首先，我们定义静止惯性坐标系S，对象刚体绕S系原点作定点转动；然后定义一个固连于刚体之上的动坐标系B，其原点与S系原点重合。

记刚体相对于S系的角速度为\(\bm{\omega}\)，并将刚体看作由无数个微小质点\(m_i\)组成，质点\(m_i\)相对原点的位置矢量为\(\mathbf{r}_i\)，则该刚体相对原点的角动量为：

\[\begin{align} \mathbf{L} = \sum_i \mathbf{L}_i = \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i \dot{\mathbf{r}}_i = \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i (\bm{\omega} \times \mathbf{r}_i) \end{align} \]

将(1)式中的矢量用在S系下的坐标表示：

\[\begin{align} \begin{aligned} \mathbf{L}^S &= \sum_i \mathbf{r}_i^S \times m_i(\bm{\omega}^S \times \mathbf{r}_i^S) \\ &= -\sum_i \mathbf{r}_i^S \times m_i(\mathbf{r}_i^S \times \bm{\omega}^S) \\ &= -\sum_i m_i [\mathbf{r}_i^S]_\times^2 \bm{\omega}^S \\ &= \mathbf{J}_S \bm{\omega}^S \end{aligned} \end{align} \]

其中

\[\begin{align} \mathbf{J}_S = -\sum_i m_i [\mathbf{r}_i^S]_\times^2 = \sum_i m_i \left( \mathbf{r}_i^{S \top} \mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S \top} \right) \end{align} \]

为刚体B相对于S系的惯性矩阵，也称为惯量张量。可见随着刚体的转动，\(\mathbf{J}_S\)是一个变化的量。

类似的，我们也可以求刚体对固连坐标系S的惯性矩阵：

\[\begin{align} \mathbf{J}_B = -\sum_i m_i [\mathbf{r}_i^B]_\times^2 = \sum_i m_i \left( \mathbf{r}_i^{B \top} \mathbf{r}_i^B \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^B \mathbf{r}_i^{B \top} \right) \end{align} \]

根据刚体的定义，\(\mathbf{r}_i^B\)并不会随刚体运动而变化，则\(\mathbf{J}_B\)是一个常量，因此我们常常对\(\mathbf{J}_B\)更感兴趣，因为它更能反映刚体惯性的固有属性。

将B系在S系中的姿态用旋转矩阵表示为\(\mathbf{R}_B^S\)，则我们可以推导出\(\mathbf{J}_B\)和\(\mathbf{J}_S\)之间的关系：

\[\begin{align} \begin{aligned} \mathbf{J}_S &= -\sum_i m_i [\mathbf{r}_i^S]_\times^2 = -\sum_i m_i [\mathbf{R}_B^S \mathbf{r}_i^B]_\times^2 \\ &= -\sum_i m_i (\mathbf{R}_B^S [\mathbf{r}_i^S]_\times \mathbf{R}_B^{S\ \top})^2 \\ &= -\mathbf{R}_B^S \sum_i m_i [\mathbf{r}_i^S]_\times^2 \mathbf{R}_B^{S\ \top} \\ &= \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} \end{aligned} \end{align} \]

2. 刚体定点转动的角动量定理

记作用在每个微小质点\(m_i\)上的力为\(\mathbf{F}_i\)，则根据牛顿第二定律，作用在刚体上的合力矩为：

\[\begin{align} \begin{aligned} \bm{\tau} &= \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i \\ &= \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \\ &= \sum_i \orange{\underbrace{\dot{\mathbf{r}}_i \times m_i \dot{\mathbf{r}}_i}_\mathbf{0}} + \mathbf{r}_i \times m_i \ddot{\mathbf{r}}_i \\ &= \frac{d}{dt} \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i \dot{\mathbf{r}}_i \\ &= \dot{\mathbf{L}} \end{aligned} \end{align} \]

这就是刚体定点转动角动量定理的表达式，即刚体所受的合力矩等于角动量的变化率。

每个质元\(m_i\)所受的力可以分解为外力和内力：

\[\begin{align} \mathbf{F}_i = \mathbf{F}_{ext, i} + \mathbf{F}_{int, i} \end{align} \]

内力\(\mathbf{F}_{int, i}\)又可以分解为其余质元对\(m_i\)的作用力之和：

\[\begin{align} \mathbf{F}_{int, i} = \sum_{j \neq i} \mathbf{F}_{int, i, j} \end{align} \]

显然\(\mathbf{F}_{int, i, j}\)和\(\mathbf{F}_{int, j, i}\)为一对相互作用力。根据牛顿第三定律一对相互作用力是等大、共线、反向的，则有：

\[\begin{align} &\mathbf{F}_{int, i, j} + \mathbf{F}_{int, j, i} = \mathbf{0} \\ &\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{int, i, j} + \mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{int, j, i} = \mathbf{0} \end{align} \]

即每对内力的力矩也是相互抵消的，而每个内力总是成对出现，所以

\[\begin{align} \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{int, i} = \mathbf{0} \end{align} \]

于是

\[\begin{align} \bm{\tau} = \sum_i \mathbf{r}_i \times (\mathbf{F}_{ext, i} + \mathbf{F}_{int, i}) = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{ext, i} = \bm{\tau}_{ext} = \dot{\mathbf{L}} \end{align} \]

即刚体所受总力矩等于外力的力矩，内力的力矩为0，刚体所受外力力矩等于刚体角动量的变化率。

3. 欧拉动力学方程的推导

我们记作用在刚体之上的外部力矩为\(\bm{\tau}\)，则根据定点转动刚体的角动量定理，作用在刚体上的外部力矩等于刚体角动量的变化率，即：

\[\begin{align} \bm{\tau}^S = \dot{\mathbf{L}}^S = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{J}_S \bm{\omega}^S \right) = \dot{\mathbf{J}}_S\bm{\omega}^S + \mathbf{J}_S\dot{\bm{\omega}}^S \end{align} \]

根据之前的推导，刚体相对于静系S系的惯性矩阵\(\mathbf{J}_S\)是随时间变化的量，因此其对时间的倒数并不恒为0，下面给出两种方法对其时间导数进行推导。

方法1：根据(5)式有

\[\begin{align} \begin{aligned} \dot{\mathbf{J}}_S &= \frac{d}{dt} \left( \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} \right) \\ &= \dot{\mathbf{R}}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} + \underbrace{\mathbf{R}_B^S \dot{\mathbf{J}}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top}}_\mathbf{0} + \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \dot{\mathbf{R}}_B^{S\ \top} \\ &= [\bm{\omega}^S]_\times \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} + \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} [\bm{\omega}^S]_\times^\top \\ &= [\bm{\omega}^S]_\times \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} - \mathbf{R}_B^S \mathbf{J}_B \mathbf{R}_B^{S\ \top} [\bm{\omega}^S]_\times \\ &= [\bm{\omega}^S]_\times \mathbf{J}_S - \mathbf{J}_S [\bm{\omega}^S]_\times \end{aligned} \end{align} \]

方法2：根据(3)式和(4)式硬推：

\[\begin{align} \begin{aligned} \dot{\mathbf{J}}_S &= \frac{d}{dt} \sum_i m_i \left( \mathbf{r}_i^{S \top} \mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S \top} \right) \\ &= \sum_i m_i \left( \underbrace{(\bm{\omega}^S \times \mathbf{r}_i^S)^\top \mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3}_\mathbf{0} + \underbrace{\mathbf{r}_i^{S\ \top} (\bm{\omega}^S \times \mathbf{r}_i^S) \mathbf{I}_3}_\mathbf{0} - (\bm{\omega}^S \times \mathbf{r}_i^S) \mathbf{r}_i^{S\ \top} - \mathbf{r}_i^S (\bm{\omega}^S \times \mathbf{r}_i^S)^\top \right) \\ &= \sum_i m_i \left( -[\bm{\omega^S}]_\times \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} + \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} [\bm{\omega^S}]_\times \right) \\ &= \sum_i m_i \left( \left( \red{\mathbf{r}_i^{S\ \top}\mathbf{r}_i^S[\bm{\omega}^S]_\times} - [\bm{\omega}^S]_\times \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} \right) - \left( \red{\mathbf{r}_i^{S\ \top}\mathbf{r}_i^S[\bm{\omega}^S]_\times} - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} [\bm{\omega}^S]_\times \right) \right) \\ &= \sum_i m_i \left( [\bm{\omega}^S]_\times \left( \mathbf{r}_i^{S\ \top}\mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} \right) - \left( \mathbf{r}_i^{S\ \top}\mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} \right) [\bm{\omega}^S]_\times \right) \\ &= [\bm{\omega}^S]_\times \sum_i m_i \left( \mathbf{r}_i^{S\ \top}\mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} \right) - \sum_i m_i \left( \mathbf{r}_i^{S\ \top}\mathbf{r}_i^S \mathbf{I}_3 - \mathbf{r}_i^S \mathbf{r}_i^{S\ \top} \right) [\bm{\omega}^S]_\times \\ &= [\bm{\omega}^S]_\times \mathbf{J}_S - \mathbf{J}_S [\bm{\omega}^S]_\times \end{aligned} \end{align} \]

将(14)式代入(13)式中就得到了Euler动力学方程：

\[\begin{align} \begin{aligned} \bm{\tau}^S &= \bm{\omega}^S \times \mathbf{J}_S \bm{\omega}^S - \underbrace{\mathbf{J}_S \bm{\omega}^S \times \bm{\omega}^S}_\mathbf{0} + \mathbf{J}_S \dot{\bm{\omega}}^S \\ &= \bm{\omega}^S \times \mathbf{J}_S \bm{\omega}^S + \mathbf{J}_S \dot{\bm{\omega}}^S \end{aligned} \end{align} \]

在无人机等机器人应用中，我们一般是从CAD模型中获取机器人相对于自身固连坐标系B的惯性矩阵，以及常用的IMU传感器测量的机器人角速度也是在B系中的表示，我们将Euler动力学方程(9)式两边同时乘以\(\mathbf{R}_S^B\)得到

\[\begin{align} \begin{aligned} \bm{\tau}^B = \mathbf{R}_S^B \bm{\tau}^S &= \mathbf{R}_S^B (\bm{\omega}^S \times \mathbf{J}_S \bm{\omega}^S) + \mathbf{R}_S^B \mathbf{J}_S \dot{\bm{\omega}}^S \\ &= \mathbf{R}_S^B \bm{\omega}^S \times \mathbf{R}_S^B \mathbf{J}_S \bm{\omega}^S + \mathbf{R}_S^B \mathbf{J}_S \dot{\bm{\omega}}^S \\ &= \bm{\omega}^B \times \mathbf{R}_S^B \mathbf{J}_S \mathbf{R}_S^{B\ \top} \mathbf{R}_S^B \bm{\omega}^S + \mathbf{R}_S^B \mathbf{J}_S \mathbf{R}_S^{B\ \top} \mathbf{R}_S^B \dot{\bm{\omega}}^S \\ &= \bm{\omega}^B \times \mathbf{J}_B \bm{\omega}^B + \mathbf{J}_B \dot{\bm{\omega}}^B \end{aligned} \end{align} \]

可见Euler动力学方程在B系和S系中的形式是相同的。

💡 注意，\(\dot{\bm{\omega}}^B\)是B系相对S系的角速度变化率在B系中的坐标，即\(\dot{\bm{\omega}}^B = \left( \frac{d}{dt}\bm{\omega} \right)^B = \mathbf{R}_S^B \dot{\bm{\omega}}^S\)；而不是角速度在B系中的坐标的变化率，即\(\dot{\bm{\omega}}^B \neq \frac{d}{dt} (\bm{\omega}^B)\)

4. 质心系中的欧拉动力学方程

之前的讨论都是基于刚体绕定点转动这个假设，S系为惯性系。

然而在一般情况下我们的机器人会在空间中作复杂的运动，如果我们将之前的S系换作以原点固连在刚体上随刚体进行平动的质心系C，则刚体的运动可以分解为质心的平动和绕质心的定点转动。

我们对此时刚体绕质心的定点转动进行分析。刚体固连坐标系B的原点依然与质心系C的原点（即质心）重合，而与之前不同的是平动参考系S不再是惯性系，在此参考系中刚体会受到等效惯性力的作用，此时的欧拉动力学方程写为：

\[\begin{align} \bm{\tau}^C + \bm{\tau}_惯^C = \bm{\omega}^C \times \mathbf{J}_C \bm{\omega}^C + \mathbf{J}_C \dot{\bm{\omega}}^C \end{align} \]

其中\(\bm{\tau}_惯\)是等效惯性力对质心的力矩。设该时刻刚体质心的线加速度为\(\mathbf{a}\)，那么：

\[\begin{align} \begin{aligned} \bm{\tau}_惯 &= \sum_i \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{a} = \left( \sum_i m_i \mathbf{r}_i \right) \times \mathbf{a} \\ &= \left(\sum_i m_i\right) \mathbf{r}_C \times \mathbf{a} \end{aligned} \end{align} \]

其中\(\mathbf{r}_C\)是C系下的质心位置矢量，咱们的C就是质心系，原点就是质心，那当然有\(\mathbf{r}_C = \mathbf{0}\)，所以

\[\begin{align} \bm{\tau}_惯 = \mathbf{0} \end{align} \]

即平动质心参考系中惯性力力矩为0。

💡 因为(19)式中没有任何刚体约束，因此这个结论实际上对非刚体也成立。

因此在质心参考系中的欧拉动力学方程与惯性系中相同：

\[\begin{align} \bm{\tau}^C = \bm{\omega}^C \times \mathbf{J}_C \bm{\omega}^C + \mathbf{J}_C \dot{\bm{\omega}}^C \end{align} \]

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