专题 导数中的二次求导

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如果函数\(y=f(x)\)的导数\(f'(x)\)在\(x\)处可导，则称\(y'\)的导数为函数\(y=f(x)\)在\(x\)处的二阶导数，记为\(f''(x)\). \({\color{Red}{ Eg: }}\)若函数\(f(x)=x^3\)，则\(f^{\prime}(x)=3x^2\)，\(f^{\prime \prime}(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{\prime}=\left[3 x^{2}\right]^{\prime}=6 x\).  

二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性. 若在\((a,b)\)内\(f^{\prime \prime} (x)>0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)内为凹函数；若在\((a,b)\)内\(f^{\prime \prime} (x)0\)，凹函数； \(f(x)=lnx\)，其二次导数\(f^{\prime \prime}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}0\)和\(f^{\prime}(x)0\)和\(g^{\prime}(x)0\)也很难求解呢？那就要三次求导.

【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性 \((1) f(x)=x\cdot e^x\) \(\qquad \qquad\) \((2)f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) \(\qquad \qquad\) \((3) f(x)=x\cdot \ln x\) 【解析】 \((1)f^{\prime}(x)=(x+1) e^{x}\)， \(f^{\prime \prime}(x)=(x+2) e^{x}\)， 故\(f(x)\)在\((-∞,-2)\)上凸，在\((-2,+∞)\)上凹； \((2)f^{\prime}(x)=\dfrac{(x-1) e^{x}}{x^{2}}\)，\(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{\left(x^{2}-2 x+2\right) e^{x}}{x^{3}}\), 故\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上凸，在\((0,+∞)\)上凹； \((3)f^{\prime}(x)=\ln x+1\)，\(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{1}{x}\)， 故\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上凹； 【点拨】对于常见的超越函数，需要了解下它们的图象，特别是凹凸性，日后会经常见到它们的踪影，比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.  

1 (★) 判断以下几个超越函数的凹凸性 \((1) f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) \(\qquad \qquad\) \((2)f(x)=\dfrac{ x}{\ln x}\) \(\qquad \qquad\) \((3)f(x)=\dfrac{x}{e^x}\)    

【典题1】若函数\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)，\(0