【精选】概率论基础

对于连续型随机变量经常喜欢考察的一个知识点，就是其函数的分布，以及变换函数后的分布，比如 Z = X + Y。在浙大版的《概率与数理统计》这本教材里，主要重点考察了三类 Z = X + Y型，Z = X Y型，Z = X/Y型，以及 Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y)这几类型函数的分布。 为什么教材特别喜欢反复考察这些知识点，其中一个问题是对于我们连续型随机变量来说，有时不一定能顺利的使用连续的密度函数对概率事件进行建模，反而此时使用概率函数能够简化我们的工作量，所以这也就是要求学习概率论的朋友必须掌握的基础概念。 概率函数其实有很多，但是如果拆分它的基本型也就是以上这些。

浙大版的《概率论与数理统计》这本书呢，列举了好几类函数分布。这里，我也对照着教材上把相关的类型罗列出来。

首先，你需要保持清晰的头脑，弄明白对于连续型的概率密度函数，与分布函数的区别，如果这方面你还是一团浆糊，建议先回到我之前的章节里，仔细看一看。

那么首先，对于 Z = X + Y Z = X + Y Z=X+Y 的分布，它的概率密度为：

f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − y ) d x f_{X + Y}(z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(z - y, y) dy = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x, z-y) dx fX+Y​(z)=∫−∞+∞​f(z−y,y)dy=∫−∞+∞​f(x,z−y)dx

若X和Y互为独立事件，那么可以得到：

f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − y ) d x f_{X + Y}(z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_X(z - y)f_Y(y) dy = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_X(x)f_Y(z-y) dx fX+Y​(z)=∫−∞+∞​fX​(z−y)fY​(y)dy=∫−∞+∞​fX​(x)fY​(z−y)dx

这里的 f X f_X fX​ 和 f Y f_Y fY​ 是 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的边缘密度，同时也是卷积公式。

（1）：设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别如下，求Z = X + Y的概率密度 f x ( x ) = { e − 2 x x > 0 0 e l s e f_x(x) = \left\{\begin{matrix} e^{-2x} & x > 0\\ 0 & else \end{matrix}\right. fx​(x)={e−2x0​x>0else​ f y ( y ) = { 1 / 2 0 ≤ y < 2 0 e l s e f_y(y) = \left\{\begin{matrix} 1/2 & 0 \leq y < 2\\ 0 & else \end{matrix}\right. fy​(y)={1/20​0≤y 0 , 0 ≤ y < 2 0 e l s e f_z(z) = \int f_x(x) f_y(z - x) dx \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx& x > 0, 0 \leq y < 2\\ 0 & else \end{matrix}\right. fz​(z)=∫fx​(x)fy​(z−x)dx⇒{21​∫e−2xdx0​x>0,0≤y 0 0 ≤ y < 2 ⇒ { x > 0 0 ≤ z − x < 2 ⇒ { x > 0 z − 2 < x ≤ z \left\{\begin{matrix} x > 0 \\ 0 \leq y < 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 \\ 0 \leq z - x < 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x > 0 \\ z - 2 < x \leq z \end{matrix}\right. {x>00≤yx>0z−2 0 x>0 不想交时， f z ( z ) = 0 f_z(z) = 0 fz​(z)=0

对于第二种情况，部分相交时，有： z − 2 < 0 < z z-2 < 0 < z z−20000X,Y} 和 Z = m i n { X , Y } Z = min\{X, Y\} Z=min{X,Y}**型的分布函数，它们分别是:

Z m a x = F m a x ( z ) = F x ( z ) F y ( z ) Z_{max} = F_{max}(z)= F_x(z)F_y(z) Zmax​=Fmax​(z)=Fx​(z)Fy​(z)

与

Z m i n = F m i n ( z ) = 1 − [ 1 − F x ( z ) ] [ 1 − F y ( z ) ] Z_{min} = F_{min}(z)= 1 - [1 - F_x(z)][1 - F_y(z)] Zmin​=Fmin​(z)=1−[1−Fx​(z)][1−Fy​(z)]

其对应的概率密度为：

f z ( z ) = F ( z ) ′ f_z(z) = F(z)' fz​(z)=F(z)′

Z = min(X, Y) 和 Z = max(X, Y) 型和之前的不太一样，不太容易理解。为了更好的理解这种概率是在什么状况使用的，我们来做下面的这个例题吧。

设系统L由两个独立的子系统 L 1 L_1 L1​， L 2 L_2 L2​ 连接而成，连接的方式分别为串联、并联、备用，设 L 1 L_1 L1​， L 2 L_2 L2​ ，已知它们的概率密度分别为： f x ( x ) = { α e − α x x > 0 0 x ≤ 0 f_x(x) = \left \{ \begin{matrix} \alpha e^{-\alpha x} & x > 0\\ 0 & x \leq 0 \end{matrix} \right. fx​(x)={αe−αx0​x>0x≤0​ f y ( y ) = { β e − β y y > 0 0 y ≤ 0 f_y(y) = \left \{ \begin{matrix} \beta e^{-\beta y} & y > 0 \\ 0 & y \leq 0 \end{matrix} \right. fy​(y)={βe−βy0​y>0y≤0​ 其中 α > 0 \alpha > 0 α>0， β > 0 \beta > 0 β>0 且 α ≠ β \alpha \neq \beta α​=β。试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度。

解（i） 针对串联情况，如果X或Y有任何一路出现问题，那么线路就会停止工作。

由于串联关系，发生事件概率大，预期使用寿命最短，所以使用 Z = m i n { X , Y } Z = min\{X, Y\} Z=min{X,Y}

为了更好的带入公式，我们先求解X和Y对应的分布函数：

F x ( x ) = ∫ α e − α x d x = − e − α x ∣ 0 1 = 1 − e − α x F_x(x) = \int \alpha e^{-\alpha x} dx = -e^{-\alpha x} \bigg|_0^1 = 1 -e^{- \alpha x} Fx​(x)=∫αe−αxdx=−e−αx∣∣∣∣​01​=1−e−αx

F y ( y ) = ∫ β e − β y d y = − e − β y ∣ 0 1 = 1 − e − β y F_y(y) = \int \beta e^{-\beta y} dy = -e^{-\beta y} \bigg|_0^1 = 1 - e^{-\beta y} Fy​(y)=∫βe−βydy=−e−βy∣∣∣∣​01​=1−e−βy

并且分布函数存在的情况，有且只有当 x > 0 , y > 0 x > 0, y> 0 x>0,y>0。

然后我们带入公式，得到关于z的分布函数

F m i n ( z ) = 1 − [ 1 − F x ( z ) ] [ 1 − F y ( z ) ] = 1 − e − α z e − β z = 1 − e − z ( α + β ) F_{min}(z) = 1 - [1 - F_x(z)][1 - F_y(z)] = 1 - e^{- \alpha z} e^{-\beta z} = 1 - e^{-z(\alpha + \beta)} Fmin​(z)=1−[1−Fx​(z)][1−Fy​(z)]=1−e−αze−βz=1−e−z(α+β)

现在我们来确定下z的有效区间，因为 x > 0 , y > 0 x > 0, y > 0 x>0,y>0 z 若需要另 F m i n F_{min} Fmin​ 有效，必然 z > 0 z > 0 z>0，所以：

F m i n ( z ) = { 1 − e − z ( α + β ) z > 0 0 z ≤ 0 F_{min}(z) = \left \{ \begin{matrix} 1 - e^{-z(\alpha + \beta)} & z > 0 \\ 0 & z \leq 0 \end{matrix} \right. Fmin​(z)={1−e−z(α+β)0​z>0z≤0​

然后我们对原函数求导，就可以得到它的密度函数了

f m i n ( z ) = { ( α + β ) e − z ( α + β ) z > 0 0 z ≤ 0 f_{min}(z) = \left \{ \begin{matrix} (\alpha + \beta) e^{-z(\alpha + \beta)} & z > 0 \\ 0 & z \leq 0 \end{matrix} \right. fmin​(z)={(α+β)e−z(α+β)0​z>0z≤0​

解（ii） 针对并联情况，只有X和Y同时出现问题，线路才会停止工作。

由于并联关系，发生事件概率小，预期使用寿命长，所以使用 Z = m a x { X , Y } Z = max\{X, Y\} Z=max{X,Y}

我们直接把上面得到的关于X和Y的分布函数拿下来用，于是：

F m a x ( z ) = F x ( z ) F y ( z ) = ( 1 − e − α z ) ( 1 − e − β z ) F_{max}(z) = F_x(z)F_y(z) = (1 -e^{- \alpha z})(1 - e^{-\beta z}) Fmax​(z)=Fx​(z)Fy​(z)=(1−e−αz)(1−e−βz)

所以，

F m a x ( z ) = { ( 1 − e − α z ) ( 1 − e − β z ) z > 0 0 z ≤ 0 F_{max}(z) = \left \{ \begin{matrix} (1 -e^{- \alpha z})(1 - e^{-\beta z}) & z > 0 \\ 0 & z \leq 0 \end{matrix} \right. Fmax​(z)={(1−e−αz)(1−e−βz)0​z>0z≤0​

同样，求导后有

f m i n ( z ) = { α e − α z + β e − β z − ( α + β ) e − z ( α + β ) z > 0 0 z ≤ 0 f_{min}(z) = \left \{ \begin{matrix} \alpha e^{-\alpha z} + \beta e^{-\beta z} - (\alpha + \beta) e^{-z(\alpha + \beta)}& z > 0 \\ 0 & z \leq 0 \end{matrix} \right. fmin​(z)={αe−αz+βe−βz−(α+β)e−z(α+β)0​z>0z≤0​

解（iii） 情况和并联相似，但是有先后关系。即先X出问题，然后启动Y，如果Y再出问题，则线路停止工作。

由于X与Y是先后投入使用，所以预期使用寿命应该为 Z = X + Y。

f X + Y ( z ) = ∫ f x ( x ) f y ( z − x ) d x = ∫ α e − α x β e − β ( z − x ) d x f_{X+Y}(z) = \int f_x(x) f_y(z - x) dx = \int \alpha e^{-\alpha x} \beta e^{-\beta (z - x)} dx fX+Y​(z)=∫fx​(x)fy​(z−x)dx=∫αe−αxβe−β(z−x)dx

= α β e − β z ∫ e ( β − α ) x d x = α β e − β z ⋅ 1 β − α e ( β − α ) x ∣ 0 z = α β ( β − α ) ( e − α z − e − β z ) = \alpha \beta e^{-\beta z} \int e^{(\beta - \alpha) x} dx = \alpha \beta e^{-\beta z} \cdot \frac{1}{\beta - \alpha} e^{(\beta - \alpha)x} \bigg|_0^z = \frac{\alpha \beta}{(\beta - \alpha)} (e^{-\alpha z} - e^{-\beta z}) =αβe−βz∫e(β−α)xdx=αβe−βz⋅β−α1​e(β−α)x∣∣∣∣​0z​=(β−α)αβ​(e−αz−e−βz)

于是：

f X + Y ( z ) = { α β ( β − α ) ( e − α z − e − β z ) z > 0 0 e l s e f_{X+Y}(z) = \left \{ \begin{matrix} \frac{\alpha \beta}{(\beta - \alpha)} (e^{-\alpha z} - e^{-\beta z}) & z > 0\\ 0 & else \end{matrix} \right. fX+Y​(z)={(β−α)αβ​(e−αz−e−βz)0​z>0else​