[题目]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.当x<0时.f(x)=ex(x+1).给出下列命题:①当x>0时.f(x)=﹣e﹣x,②函数f(x)有2个零点,③f(x)<0的解集为.④x1 . x2∈R.都有 | 您所在的位置:网站首页 › 写出三个奇函数的值 › [题目]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.当x<0时.f(x)=ex(x+1).给出下列命题:①当x>0时.f(x)=﹣e﹣x,②函数f(x)有2个零点,③f(x)<0的解集为.④x1 . x2∈R.都有 |
【答案】C【解析】解:①f(x)为R上的奇函数,设x>0,﹣x<0,则:f(﹣x)=e﹣x(﹣x+1)=﹣f(x); ∴f(x)=e﹣x(x﹣1); ∴故①错误, ②∵f(﹣1)=0,f(1)=0; 又f(0)=0; ∴f(x)有3个零点; 故②错误, ③当x<0时,由f(x)=ex(x+1)<0,得x+1<0; 即x<﹣1, 当x>0时,由f(x)=e﹣x(x﹣1)<0,得x﹣1<0; 得0<x<1, ∴f(x)<0的解集为(0,1)∪(﹣∞,﹣1); 故③正确, ④当x<0时,f′(x)=ex(x+2); ∴x<﹣2时,f′(x)<0,﹣2<x<0时,f′(x)>0; ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(﹣2,0)上单调递增; ∴x=﹣2时,f(x)取最小值﹣e﹣2,且x<﹣2时,f(x)<0; ∴f(x)<f(0)=1; 即﹣e﹣2<f(x)<1; 当x>0时,f′(x)=e﹣x(2﹣x); ∴f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减; x=2时,f(x)取最大值e﹣2,且x>2时,f(x)>0; ∴f(x)>f(0)=﹣1; ∴﹣1<f(x)≤e﹣2; ∴f(x)的值域为(﹣1,e﹣2]∪[﹣e﹣2,1); ∴x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|<2; 故④正确, ∴正确的命题为③④. 所以答案是:C . 【考点精析】利用函数奇偶性的性质和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值. |
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