[平面解析几何]相离两圆的方程相减究竟得到什么直线？

在高中数学平面解析几何的学习中，我相信不少同学的老师曾经讲过“不同心两圆的方程相减得到的直线”的性质：

相交的两个圆方程相减，得到两圆公共弦所在直线方程。

相切的两个圆方程相减，得到过切点的公切线的方程。

不难看出，以上两种情况，所得直线就是两圆的根轴。

这容易让人联想到，是不是在任意情况下，两圆的方程相减得到的是否都是其根轴的方程呢？相信不少同学和我有相同的疑惑。

但是，一种较为广泛流传的说法（以下简称“第三条结论”）是：

相离的两圆方程相减，得到两圆连心线的一条垂线，且垂足到两圆心的距离之比等于半径之比。

这种说法是否正确呢？又与我们的猜测是否矛盾呢？且听我慢慢分析（其实也不是很慢ovo）

首先，我得到的结论是：所得的直线是两圆的根轴，“第三条结论”是错误的。

以下先证明“第三条结论”是错误的。

如上图，我们作出两个圆。

显然“第三条结论”不成立（如果我没算错的话[偷笑]）。

但是网络上仍然有不少此种结论。

我们再来证明根轴。

“两圆方程相减所得到的直线”方程为：P(x,y) - Q(x,y) = 0

所以这条直线上的点满足：P(x,y) = Q(x,y)

即这条直线上的点对两圆的幂相等，也就是圆的根轴。

这个结论对于任意两圆都成立。

此外，还有其他说法是：这条直线上的点对两圆的切线长相等。

个人认为这种说法并不严谨，因为过圆内一点无法做出圆的切线。

结论：

不同心两圆方程相减所得直线，一言以蔽之，曰“根轴”。

“相离的两圆方程相减，得到两圆连心线的一条垂线，且垂足到两圆心的距离之比等于半径之比。”是错误的结论，仅在个别情形下成立。

属文匆忙，如有纰漏还请帮忙指正~