二进制补码记数法和余码记数法

目前，计算机表示整数普遍采用的就是二进制补码记数法。它是用固定数目的二进制位来表示整数，通常是32位。如1表示成

但这里，为了方便，我们先看看3位二进制和4位二进制：

在二进制补码系统中，最左边的二进制位指明所标示数值的符号，称为符号位。其中，1表示负数，0表示非负数（包括自然数0）。 二进制补码系统是这样构成的：

对于非负数：先规定适当长度的一组二进制0，使用二进制计数，从右向左，直到只有一个0，其他都是1的模式形成。这样形成的数有0、1、2、3……

对于负数：先规定适当长度的一组二进制1，使用二进制反向计数，从右向左，直到只有一个1，其他都是0的模式形成。这样形成的数有-1、-2、-3……。其中，反向计数让很多人难以理解，你可以从表格的底部开始计数。

总结一下：

二进制补码系统，以0开头表示非负数，以1开头表示负数。

因为非负数中包括0，所以对于4位模式的数字，其能表示的最大正数为2^3-1 = 7,但负数中不包括0，所以其能表示的最小的负数为-2^3 = -8。

对比表格中的数所对应的二进制表示，你会发现很有意思的一点：0和-1的二进制是按位取反的，1和-2也是如此，2和-3同样……

这是一个很有趣的发现。但是我们更希望建立一个1和-1，2和-2，3和-3……之间的关系，而不是0和-1，1和-2，2和-3……。

那么如何根据一个数的正数二进制形式，写出相对应的负数二进制呢？比如，已知6的二进制为0110，怎么样写出-6的二进制呢？

很简单：以6的二进制0110为例，从右向左看，在遇到第一个1之前（包括第一个1），都依次抄写，在第一个1之后的所有二进制位都依次取反。

那么，从右向左看，6的二进制0110的右边第一位是0，则-6的右边第一位也为0；右边的第二位是1（为第一个1），则-6的右边第二位也为1；右边的第三位为1（在第一个1之后，所以依次取反），则-6的右边第三位为0；右边的第四位为0，则-6的右边第四位为1。所以-6的二进制为1010。

已知正数的二进制表示，求其负数的二进制表示也是一样的规则：从右向左看，在遇到第一个1之前（包括第一个1），都依次抄写，在第一个1之后的所有二进制位都依次取反。

使用二进制补码记数法主要是为了简化计算机电路设计，它可以使得减法转化为加法。而加法的电路设计是很简单的，主要是运用逻辑电路实现，但减法电路的设计通常很困难。所以通过二进制补码记数法，可以使得减法运算变成加法，使用同一套电路。

比如：7-2=5，可以转化为7+(-2)=5。其中-2就是通过2的二进制转化来的。

值得一提的是，在计算过程中，包括答案的所有位模式长度都是相同的。从右向左运算时，最后一位可能产生进位，会造成答案多出一位。这时，需要把这多出的一位删除掉。不用担心删除过后正确性会造成影响，其实删除掉过后的答案才是正确的。比如0101+0010=0111，又比如0111+1011=0010（0111+1011=10010，缩减为0010）。就是这么神奇！

使用二进制补码计数法的计算机只要学会加法就可以了，计算机需要一个加法电路和一个取负电路。

因为使用二进制补码系统时，位数是固定的，所以可以表示的数值大小也是有限制的。比如说，4位模式的二进制补码系统，所能表示的最大正整数是7，最小负整数是-8。所以，9就无法表示，5+4你不会得到正确的结果9，而会得到-7。

溢出指的是，计算的结果超出了可以表示的数值范围。

可以分三种情况讨论： 1. 正数+正数：这时可能发生溢出问题。如果两个正数的和为负数，毫无疑问，发生了溢出。 2. 负数+负数：这时也可能发生溢出。如果两个负数的和为正数，肯定发生了溢出。 3. 正数+负数：这时运算结果不会发生溢出问题。除非两个参与运算的数本身已经溢出了。

简单地说，两个正数的和为负，或者两个负数的和为正，那么肯定发生了溢出。

不用太过担心这个问题，因为我们实际使用的位模式都是32位，或者64位的，可以表示的数非常大。

除了补码记数法，还有一种记数方法是余码记数法。它跟补码记数法很类似，只有一点区别：它的符号位使用1表示正数，使用0表示负数。

1.将下面每一个二进制补码表示转换为相应的十进制形式。

2.用8位位模式将下列每一个十进制表示转换为相应的二进制补码形式。

3.假定下列位模式表示的是用二进制补码计数法存储的数值，求出每一个值的负值的二进制补码表示。

4.假定一台机器用二进制补码记数法存储数值，如果及其分别采用下列长度的位模式，那么可以存储的最大数和最小数分别是什么？

5.计算下列由二进制补码记数法表示的问题，按照二进制补码记数法求出他们的答案。要注意观察可能会产生的溢出问题。

6.在二进制补码记数法里，一个整数和一个负数相加时会产生溢出吗？请说明理由。

注：文章习题和图片摘自 《计算机科学概论 11版》https://book.douban.com/subject/6862061/ 。