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数电学习（二、逻辑代数）
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文章目录
逻辑代数基础一、逻辑代数基本公式和常用公式几种复合逻辑运算基本公式常用公式
二、基本定理代入定理反演定理
三、逻辑函数及其表示方法逻辑函数定义表达方式
逻辑函数的两种标准形式最小项之和最大项之积
逻辑函数的化简逻辑函数的最简形式无关项
计算机化简
逻辑代数基础
学习目的：基本逻辑运算；基本公式、表示方法；逻辑函数化简 数字电子技术依赖的逻辑代数是不变的，但是实现方式不一定是半导体器件，只能说现阶段是半导体器件，我们现在学习的是以半导体器件实现的数字电路。 三种逻辑运算方式：与或非 当现实的物理对象要在逻辑世界，逻辑代数中描述时，要做的第一件事就是编码，如果采用的编码方式不一样，你得到的逻辑关系不一定和别人一样。 任何一个逻辑函数，一定能表达成逻辑运算，逻辑运算中，只要变量的个数是确定的，变量的所有取值可能是有限的。遍历所有可能就是真值表。 一、逻辑代数基本公式和常用公式 几种复合逻辑运算与、或、非、与非、或非、与或非、异或、同或 异或：A’B+AB’，两个不一样是1，两个一样是0同或：AB+A’B’，两个不一样是0，两个一样是1 基本公式 (AB)’ = A’ + B’A + BC = (A + B)(A + C)(A + B)’ = A’B’…(其他都能一眼看出来)推导公式2： (A + B)(A + C) = A + AB + AC +BC = A(1 + B + C) +BC = A + BC 公式1和3（摩根定理），推不出来，只能列真值表 常用公式 A + AB = AA + A’B = A + BAB + AB’ = AA(A + B) = AAB + A’C +BC =AB +A’C；AB + A’C + BCD = AB + A’CA(AB)’ = AB’；A’(AB)’ = A’ 在逻辑式中，如果有原变量，有反变量，那么除了原变量反变量剩余的两项的与可以去掉，公式5（推演：将BC变成ABC+A’BC，都被前面吸收了）公式6用摩根公式证明 二、基本定理 代入定理 代入定理：在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立（也就是说在逻辑运算中某一个变量都可以是其他变量运算的结果）代入定理非常重要，描述的是数字电路设计的根本理念之一高度集成化保证稳定的原因是0，1的传递是清晰的，最后都落在0，1上代入定理这个A以其他逻辑式来实现的时候，可以实现分层和接口的设计（分层要把每一层的复杂度都降到一定程度，你的变量在这层仅仅是一个变量，但是到下一层，他从别的地方来的时候，他可能是一个复杂的逻辑运算；同样，接口能够简化也是这个原因，接口的标准化，使接口能够传输的数和能够确定的数就那么几个，那这个变量从哪来，基本概念都是代入定理来的）代入定理例子： 摩根定理(AB)’ = A’ + B’，以BC代入B，根据代入定理可以推导出(ABC)’ = A’ + (BC)’ = A’ + B’ + C’（代入定理：1是我们设计思想的原则，2：它可以将我们前面的定理千变万化） 反演定理 对于任一逻辑式，求Y => Y’，只需要" * => + “，” + => * “，” 1 => 0 “，” 0 => 1 “，” 原变量 => 反变量 " ，''反变量 => 原变量"举例：Y = A(B + C) + CD => Y’ = (A’ + B’C’)(C’ + D’) = A’C’ + B’C’ +A’D’ + B’C’D’ (化简)逻辑代数有意义，对数字电路实现意义不大 三、逻辑函数及其表示方法 逻辑函数定义以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之改变，输入/输出之间是一种函数关系（在二值逻辑当中，输入输出都只有0或1） 表达方式真值表 逻辑式（抽象度最高，表达最简洁） 逻辑图（与电路对应关系最好） 波形图（最容易观测） 卡诺图 EDA中的硬件描述语言 （各种表示方式之间可以相互转换，可以理解为同一种逻辑关系在不同情境下的编码方式） 真值表：输入的影响是加一个表就double，输出的影响是加一个只加一列 波形图：在观测完整的前提下（几个变量来判断多少种叫完整），由输入判断输出，只需要找输出为1的时候，列下来就可以了，如果输出为1的时候太长可以写输出为0的表示然后取反 真值表到逻辑式：只需要找输出为1的时候，列下来相加就可以了，如果输出为1的时候太长可以写输出为0的表示然后取反 逻辑式到真值表：穷举就行了（做之前最好先把逻辑式整理一下，要是能少一个变量，真值表就会少一半） 逻辑函数的两种标准形式 最小项之和最大项之积 最小项之和最小项m： m是乘积项包含n个因子n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现一次（对于n个变量函数，有2的n次方个最小项）举例：两个逻辑变量A,B的最小项：A’B’,A’B,AB’,AB（2的2次方，4个）每个最小项都对应真值表一行，所以任何一个逻辑函数都可以写成某几个最小项之和（如果某个逻辑函数包含所有最小项，那么他的值为1，因为所有行都是1） 最小项性质： 在输入变量取任一值，有且仅有一个最小项的值为1全体最小项之和等于1任何两个最小项之积为0两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公因子（相邻：进一个变量不同的最小项）注意理解最小项标号（取1的情况） 最大项之积最小项M： M是乘加项包含n个因子n个变量都以原变量或反变量的形式在M中出现一次注意理解最大项标号（取0的情况）最大项与最小项的标号互补，加起来等于全部项 逻辑函数的化简没有最好的表达形式，只有最合适的。 逻辑函数的最简形式最简与或：包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与或逻辑式。 公式化简法（需要大量的经验累积和经验，电路较小时的手工化简方法，揭示化简最根本的原理是相加，吸收，合并，体会出化简的意义所在，把一个复杂的逻辑简化，而便于我们的实现）卡诺图化简法： 实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表现出来逻辑的相邻变成几何的相邻 由于希望只有平面相邻的原因，五变量以上的卡诺图化简手工中用的很少了合并最小项原则：两个相邻的最小项可以合并为一项，消去一对因子；四个排成矩形的相邻最小项可以合并为一项，消去两对因子；八个相邻，消三个化简结果不唯一一个函数含有9个1，就一定能化简（最多3*3）有n个变量，一个最简与或式能含的最小乘积项是2的n-1次方个
无关项
约束项：取值不可能发生任意项：输入变量的某些取值下，函数值为0或1，都不影响逻辑电路的功能，这些最小项叫任意项
加入无关项帮助化简关于无关项的应用，永远是设计人员基于物理背景下的应用
计算机化简
QM法等
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