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§4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数的概念 【定义】已知
那么函数 例如: 对于原函数,我们很自然地会提出如下几个问题: 【问题一】 【问题二】若 【问题三】若 问题一将在下一章中讨论,这里我们仅给出它的结论。 【原函数存在定理】 如果函数 简言之:连续函数一定有原函数。 若 那么对于任意常数 如果 问题三可由下述结论来解决 【结论】设 证明: 设 则
即 这表明: 因此, 二、不定积分概念 【定义】在区间 其中: 由前面的讨论,如果 【例1】求 解: 因此 【例2】设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的两倍,求此曲线的方程。 解:设所求曲线方程为 由于 于是, 所求曲线为 曲线族
当 由此例,我们可将原函数,不定积分这些概念用几何术语来加以描述。 1、函数 2、不定积分
3、由 在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线,这些切线彼此平行。 由不定积分的定义,有如下关系式:
由此可见,微分运算 (记号为 三、基本积分表 由于不定积分运算与微分运算是互逆的, 那么,我们可由基本初等函数的微分公式给出基本不定积分公式。 例如: 当 基本不定积分公式, 同学们可自行给出, 这里不再赘述。 四、不定积分的性质与举例 【性质一】函数之和的不定积分等于各个函数的不定积分之和, 即 【性质二】求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的外面来,即
这两个性质极易证明,只需对等式两边求导,比较两边是否相等即可。 利用不定积分的两个性质与基本的不定积分公式,我们可求一些简单函数的不定积分。 【例3】求
【例4】求
【例5】求
【例6】求
【例7】求
【例8】求
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