三角函数诱导公式一览表（三角函数诱导公式）

1、三角函数诱导公式，数学术语，是将角n・(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数，口诀是“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·（π/2）±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。同倒数关系，对角线上两个函数互为倒数；商数关系，六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。平方关系，在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

2、所谓三角函数诱导公式，就是将角n・(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

3、

3、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

4、sin（2kπ+α）=sinα k∈z

5、cos（2kπ+α）=cosα k∈z

6、tan（2kπ+α）=tanα k∈z

7、cot（2kπ+α）=cotα k∈z

8、公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

9、sin（π+α）=－sinα

10、cos（π+α）=－cosα

11、tan（π+α）=tanα

12、cot（π+α）=cotα

13、公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

14、sin（－α）=－sinα

15、cos（－α）=cosα

16、tan（－α）=－tanα

17、cot（－α）=－cotα

18、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

19、sin（π－α）=sinα

20、cos（π－α）=－cosα

21、tan（π－α）=－tanα

22、cot（π－α）=－cotα

23、公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

24、sin（2π－α）=－sinα

25、cos（2π－α）=cosα

26、tan（2π－α）=－tanα

27、cot（2π－α）=－cotα

28、公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

29、sin（π/2+α）=cosα

30、cos（π/2+α）=－sinα

31、tan（π/2+α）=－cotα

32、cot（π/2+α）=－tanα

33、sin（π/2－α）=cosα

34、cos（π/2－α）=sinα

35、tan（π/2－α）=cotα

36、cot（π/2－α）=tanα

37、推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

38、sin（3π/2+α）=－cosα

39、cos（3π/2+α）=sinα

40、tan（3π/2+α）=－cotα

41、cot（3π/2+α）=－tanα

42、sin（3π/2－α）=－cosα

43、cos（3π/2－α）=－sinα

44、tan（3π/2－α）=cotα

45、cot（3π/2－α）=tanα

46、诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

47、“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n・(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

48、符号判断口诀：

49、“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。

50、“ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

51、同角三角函数的基本关系式

52、倒数关系

53、tanα・cotα=1

54、sinα・cscα=1

55、cosα・secα=1

56、商的关系

57、sinα/cosα=tanα=secα/cscα

58、cosα/sinα=cotα=cscα/secα

59、平方关系

60、sin^2(α)+cos^2(α)=1

61、1+tan^2(α)=sec^2(α)

62、1+cot^2(α)=csc^2(α)

63、同角三角函数关系六角形记忆法

64、构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

65、倒数关系

66、对角线上两个函数互为倒数；

67、商数关系

68、六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。

69、平方关系

70、在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

71、sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

72、sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ

73、cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

74、cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

75、tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα ・tanβ)

76、tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα・tanβ)

77、二倍角的正弦、余弦和正切公式

78、sin2α=2sinαcosα

79、cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α)

80、tan2α=2tanα/(1－tan^2(α))

81、半角的正弦、余弦和正切公式

82、sin^2(α/2)=(1－cosα)/2

83、cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

84、tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα)

85、tan(α/2)=(1―cosα)/sinα=sinα/1+cosα

86、万能公式

87、sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))

88、cosα=(1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))

89、tanα=(2tan(α/2))/(1－tan^2(α/2))

90、三倍角的正弦、余弦和正切公式

91、sin3α=3sinα－4sin^3(α)

92、cos3α=4cos^3(α)－3cosα

93、tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1－3tan^2(α))

94、三角函数的和差化积公式

95、sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)・cos((α－β)/2)

96、sinα－sinβ=2cos((α+β)/2)・sin((α－β)/2)

97、cosα－cosβ=－2sin((α+β)/2)・sin((α－β)/2)

98、三角函数的积化和差公式

99、sinα・cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)]

100、cosα・sinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)]

101、cosα・cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α－β)]

102、sinα・sinβ=－0.5[cos(α+β)－cos(α－β)]

103、万能公式推导

104、sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

105、再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))，然后用α/2代替α即可。

106、同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

107、三倍角公式推导

108、tan3α=sin3α/cos3α

109、=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

110、=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

111、上下同除以cos^3(α)，得：

112、tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

113、sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

114、=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

115、=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

116、=3sinα－4sin^3(α)

117、cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

118、=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

119、=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))

120、=4cos^3(α)－3cosα

121、即

122、sin3α=3sinα－4sin^3(α)

123、cos3α=4cos^3(α)－3cosα

124、和差化积公式推导

125、首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

126、我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

127、所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

128、同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

129、同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

130、所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

131、所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

132、同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

133、这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

134、sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

135、cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

136、cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

137、sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

138、有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

139、我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

140、把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：

141、sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

142、sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

143、cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

144、cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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