高斯光束及其MATLAB仿真

​ 在光学中，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以 T E M 00 TEM_{00} TEM00​波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。 ​ 描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。 ​ 亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。

一般表达式： E ( x , y , z ) = w 0 w exp ⁡ ( − x 2 + y 2 w 2 ) exp ⁡ { i [ k ( x 2 + y 2 ) 2 R − ψ ] } exp ⁡ ( i k z ) E(x,y,z)=\frac{w_0}{w}\exp\mathrm{(}-\frac{x^2+y^2}{w^2}) \\ \exp \left\{ i\left[ \frac{k(x^2+y^2)}{2R}-\psi \right] \right\} \exp\mathrm{(}ikz) E(x,y,z)=ww0​​exp(−w2x2+y2​)exp{i[2Rk(x2+y2)​−ψ]}exp(ikz) 简化表达式为： E ( x , y , z ) = 1 1 + i z / z R exp ⁡ [ − ( x 2 + y 2 ) / w 0 2 1 + i z / z R ] exp ⁡ ( i k z ) E(x,y,z)=\frac{1}{1+i{{z}\Bigg/{z_R}}}\exp \left[ -\frac{(x^2+y^2{{)}\Bigg/{w_{0}^{2}}}}{1+i{{z}\Bigg/{z_R}}} \right] \exp\mathrm{(}ikz) E(x,y,z)=1+iz/zR​1​exp⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−1+iz/zR​(x2+y2)/w02​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​exp(ikz) w 0 w_{0} w0​是中心束腰半径； k = 2 π / λ k=2\pi/\lambda k=2π/λ是波数； λ \lambda λ是光束的波长； z R = 1 / 2 k w 0 z_{R}=1/2kw_{0} zR​=1/2kw0​表示瑞利距离； w = w 0 1 + ( z / z R ) 2 w=w_{0}\sqrt{1+(z/z_{R})^2} w=w0​1+(z/zR​)2 ​表示光束传播到 z z z处的束宽， R = z R ( z z R + z R z ) R=z_{R}(\frac{z}{z_{R}}+\frac{z_{R}}{z}) R=zR​(zR​z​+zzR​​)表示等相位面的曲率半径， Ψ \varPsi Ψ表示相位因子。

一般表达式： E p l ( x , y , z ) = w 0 w ( 2 r w ) l L p l ( − r 2 w 2 ) exp ⁡ ( − r 2 w 2 ) exp ⁡ { i [ k r 2 2 R − ( 2 p + l + 1 ) ψ ] } exp ⁡ ( i l φ ) exp ⁡ ( i k z ) E_{p}^{l}(x,y,z)=\frac{w_0}{w}\left( \sqrt{2}\frac{r}{w} \right) ^lL_{p}^{l}\left( -\frac{r^2}{w^2} \right) \exp \left( -\frac{r^2}{w^2} \right) \\ \exp \left\{ i\left[ k\frac{r^2}{2R}-(2p+l+1)\psi \right] \right\} \\ \exp\mathrm{(}il\varphi \left) \exp \right( ikz) Epl​(x,y,z)=ww0​​(2 ​wr​)lLpl​(−w2r2​)exp(−w2r2​)exp{i[k2Rr2​−(2p+l+1)ψ]}exp(ilφ)exp(ikz) 简化表达式： E ( x , y , z ) = ( 2 r w ) l L p l ( 2 r 2 w 2 ) [ 1 − i z / z R 1 + ( z / z R ) 2 ] 2 p + l 1 1 + i z / z R exp ⁡ [ − ( x 2 + y 2 ) / w 0 2 1 + i z / z R ] exp ⁡ ( i k z ) E(x,y,z)=\left( \sqrt{2}\frac{r}{w} \right) ^lL_{p}^{l}\left( 2\frac{r^2}{w^2} \right) \left[ \frac{1-i{{z}\Bigg/{z_R}}}{\sqrt{1+({{z}\Bigg/{z_R}})^2}} \right] ^{2p+l} \\ \frac{1}{1+i{{z}\Bigg/{z_R}}}\exp \left[ -\frac{(x^2+y^2{{)}\Bigg/{w_{0}^{2}}}}{1+i{{z}\Bigg/{z_R}}} \right] \exp\mathrm{(}ikz) E(x,y,z)=(2 ​wr​)lLpl​(2w2r2​)⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1+(z/zR​)2 ​1−iz/zR​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​2p+l1+iz/zR​1​exp⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−1+iz/zR​(x2+y2)/w02​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​exp(ikz)

一般表达式： E m n ( x , y , z ) = w 0 w H m ( 2 x w ) H n ( 2 y w ) exp ⁡ ( − r 2 w 2 ) exp ⁡ { i [ k r 2 2 R − ( 2 p + l + 1 ) ψ ] } exp ⁡ ( i k z ) E_{mn}(x,y,z)=\frac{w_0}{w}H_m\left( \sqrt{2}\frac{x}{w} \right) H_n\left( \sqrt{2}\frac{y}{w} \right) \exp \left( -\frac{r^2}{w^2} \right) \\ \exp \left\{ i\left[ k\frac{r^2}{2R}-(2p+l+1)\psi \right] \right\} \exp\mathrm{(}ikz) Emn​(x,y,z)=ww0​​Hm​(2 ​wx​)Hn​(2 ​wy​)exp(−w2r2​)exp{i[k2Rr2​−(2p+l+1)ψ]}exp(ikz) 简化表达式： E m n ( x , y , z ) = H m ( 2 x w ) H n ( 2 y w ) [ 1 − i z / z R 1 + ( z / z R ) 2 ] 2 p + l 1 1 + i z / z R exp ⁡ [ − ( x 2 + y 2 ) / w 0 2 1 + i z / z R ] exp ⁡ ( i k z ) E_{mn}(x,y,z)=H_m\left( \sqrt{2}\frac{x}{w} \right) H_n\left( \sqrt{2}\frac{y}{w} \right) \left[ \frac{1-i{{z}\Bigg/{z_R}}}{\sqrt{1+({{z}\Bigg/{z_R}})^2}} \right] ^{2p+l} \\ \frac{1}{1+i{{z}\Bigg/{z_R}}}\exp \left[ -\frac{(x^2+y^2{{)}\Bigg/{w_{0}^{2}}}}{1+i{{z}\Bigg/{z_R}}} \right] \exp\mathrm{(}ikz) Emn​(x,y,z)=Hm​(2 ​wx​)Hn​(2 ​wy​)⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1+(z/zR​)2 ​1−iz/zR​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​2p+l1+iz/zR​1​exp⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−1+iz/zR​(x2+y2)/w02​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​exp(ikz)

采用MATLAB对上述高斯光束进行仿真模拟，部分子函数未编写，可以直接从其他途径搜索得到，这里只是展示主函数和最终的结果。