考研数学:易混概念之多元函数微分学中的∂z/∂x与dz/dx（第3期）

按照大部分教材的章节安排顺序，在高等数学下册，会学到多元函数微分学的内容。对于多元函数，高等数学主要研究它的极限、 方向导数（x或y轴方向取0时成为偏导数）、全微分、极值以及它在空间解析几何上的应用。方向导数作为一个新的概念，容易和一元微分混淆，下面我将用两道例题将其彻底搞清。

问题的引入：

此题难度不大，考察的是最基本的概念问题，但由于是

抽象函数，可能会由于对概念理解不够深刻而出现错误。

首先观察此题的两个函数，会发现z是一个二元函数，F(x,y,z)是一个隐函数，于是有了以下的两种错误做法。

①令z=f（x,y）对x求偏导。

②利用隐函数求导公式直接求解。

这两种错误做法，从表面上来看的错误是没有利用所有条件，一般一道数学题目会用到所有给定的条件。

事实上，这两种错误做法根本上在于没有理解∂z和dz的区别。（∂不可以单独存在，此处只为说明问题。）

若定义一个可微二元函数（多元有类似结论）z=f（x，y），函数本身的x和y是没有约束关系的，它们分别取值共同唯一确定一个z。它的定义域是一个二维平面，故有无数个可以研究变化率的方向。有以下定义

此式即为沿任一方向偏导数的定义式，若取△y=0则有对x的偏导数

由此可见，偏导数同时被x和y的增量所影响，而由微分的定义（见上期）y=f（x）被唯一确定的方向x轴所决定。

介绍完概念再反过来看上面的题目，给定了一个二元函数z=(x,y),却让求被唯一确定的方向的导数。说明x和y之间有约束（即y和x有函数关系），由于是抽象函数，这个约束是无法求得的。于是看第二个函数F（x，y，z）=0，显然这是一个二元隐函数，由于y被确定了一个关于x的函数y=y（x），故该隐函数可化为F（x，y（x），z），显然它变成了一个一元隐函数，此时可用隐函数求导公式，或两边直接对x求导求得dz/dx与dy/dx的关系，解方程组即可得到最后结果。

以下是该题的解题过程与第二道例题

有人可能会问了，这不也是两个函数吗，凭什么是∂z/∂x?

这里涉及到两个关键字“确定”，确定的意思，即是从一个隐函数里确定一个关系，但是该关系不一定能用确定的表达式表现出来，这也叫隐函数的显化。比如给一个隐函数F（x，y）=x+y=0，虽然该隐函数很容易显化，但是事实上它确定了一个y=y（x）=x。这时候千万不能使用∂y/∂x，因为它是一个一元函数。

此题很明显是一个二元隐函数，对于二元隐函数，就要考虑它求导的方向，即用偏导符号∂。（此题去掉第一句话依然能做。）

对于这个题比较简单，我就不写过程了，有兴趣的同学可以做一做。

本人不属于任何机构，发专栏的目的完全出于对数学的兴趣，同时对自身也是一种提升。对于专栏内容我会保证严谨，但限于水平难免会出现纰漏，希望能够不吝批评指出，感谢阅读。