为什么F（x，y）求偏导后仍是x y的二元函数函数？

一般来说，连续可导的 z=F(x,y) 实际上描绘了一个三维欧式空间下的二维流形。我们将 F(x,y) 与平面 x=k 的交线记作 F_{x=k}(y) ，考虑 F 与所有的 y-z 平面的交线集 C ，则有

C := \{ F_{x=k}(y) | k\in \Bbb R \} \\ 接着，我们定义一个函数 H(x): \Bbb R \to C ，每一个 x 对应着 F_{x=x}(y) 这一条曲线，那么 F(x) 对 y 的偏导数定义为：

\dfrac{\partial F}{\partial y} := \dfrac{\rm d}{\rm dy}H(x) \\

从这里我们能够很清晰地看出， 二元函数的偏导数是一个具有两个变量 x,y 的函数。为什么它具有两个变量？因为每给定一个不同的 x=x_0 ，都会产生一个新的更低一维度的新函数 F'_{x=x_0}(y) ，只有再确定一个变量 y=y_0 ，才会让 \partial F / \partial y 退化到一个确定的点 F'_{x=x_0}(y_0) 。

从几何直观的角度来说，求 F 关于 y 的偏导数，我们得先确定一个 y-z 平面与这个二维流形相交，得到一个一维流形，然后再讨论这个一维流形上的导函数。因此在这个过程中，一共涉及到两个自由量：

而这个过程本身是偏导数的几何意义。因此在一般情况下，偏导数至少需要两个自由变量来描述，也就是说，它是一个二元函数。对于部分性质优良的函数，由于对称性，两个自由变量或许能够省为一个，但对于通用的情况，我们至少需要两个自由量来描述。