杨辉三角、二项式定理，是怎么来的？（x+y）^n=？？？#杨辉三角与二项式定理的推导#

杨辉三角想必不用我多做介绍，它阐述了（x+y)^n展开后各项系数的值。二项式定理，跟杨辉三角其实是一个东西。

二项式定理：

杨辉三角：

先来看二项式定理。

我们所要做的是，将（x+y）^n展开。

（x+y）^n是n个（x+y）的乘积，即：

将式1展开，相当于从每个因式（x+y）中随便选择一个，要么x要么y，去和其他因子中选择出来的x或y相乘，当我们把所有可能都试遍了之后，再把每种可能的值相加，就是式1的值。

首先考虑一下展开后的第一项x^n。为什么是x^n，而不是5x^n？因为，我们要产生x^n，我们就要从n个因式中选出n个x来相乘，才能得到x^n。

而从n个因式中，选出n个x，有几种可能？用排列数来解释，因为是从n个因式中选n个x，所以一共有

种可能。算出来就是1。因此第一项x^n的系数就是1，不是2也不是3.

来看展开后第二项。第二项这次我们从n个因式中选择（n-1）个x，那么对应的也就选择了1个y，因为n个因式有（n-1）个用来选x，只剩1个来选y了。从这点可以得知，展开后每项的次数都是n。

一共有几种可能？从n个因式中选（n-1）个x，那么就是排列数n选（n-1)即（n，n-1）种可能。这么多种可能算出来都是[x^（n-1）]y，那么我们把它们加起来，也就是（n，n-1）[x^（n-1）]y，所以第二项就是（n，n-1）[x^（n-1）]y，即：

那么第三项呢？第三项就是从n个因式中选择（n-2）个x和2个y来相乘，一共有排列数n选（n-2）即（n，n-2）种可能，把所有的可能相加，所以第三项是（n，n-2）[x^（n-2）]（y^2），即：

……

第m项，也就是从n个因式中选择（n+1-m）个x和（m-1）个y来相乘，一共有（n，n+1-m）种可能，把所有可能相加，所以第m项是（n，n+1-m）[x^（n+1-m）][y^（m-1）]，即：

我们把第1、2、3、···、n+1项的值相加，就是我们的（x+y）^n展开后的值了：

如果你仔细观察，你会发现我这时得到的二项式定理和一开始给大家的不一样。这两者是等价的，前者是以选x的角度出发，后者是以选y的角度出发，都是正确的。

二项式定理也不难记忆：

如果你还是不放心，不妨看看运用数学归纳法的证明：

接着就是我们的杨辉三角了。它的构造方式如下：

每个数等于它上方两数之和。

每行数字的第一项和最后一项都是1。

第n行的数字有n项。

第n行的第一项表示（x+y）^n展开后第一项的系数，第二项表示展开后第二项的系数，第三项表示第三项的系数，以此类推。

画出来就是：

你有没有想过，为什么偏偏是相加，而不是相减，相乘相除呢？

先来看一下简单的情况。

（x+y）³=x³+3x²y+3xy²+y³

（x+y）^4

=（x+y）³（x+y）

=（x³+3x²y+3xy²+y³）（x+y）

这里的x³要和第二个因式里的x相乘，这样的情况永远只有一种，所以杨辉三角的1直接往下挪（对于最后一项y³也是如此）。

第二项的3x²y要和x相乘，再加上第一项x³和y相乘，得到的都是x³y，加起来就是3x³y+x³y，得到x³y只有这两种情况，这里对应的就是杨辉三角中的“每个数等于它上方两数之和”。

第三项的3xy²要和x相乘，再加上第二项的3x²y和y相乘，得到的都是x²y²，加起来就是3x²y²+3x²y²，得到x²y²只有这两种情况，这里对应的还是杨辉三角中的“每个数等于它上方两数之和”。

以此类推。

我们知道，（x+y）^n展开后是x^n+···+y^n，共有（n+1）项（x从n次递减到0次，共n+1-0项含有x）；那么（x+y）^（n+1）展开后是x^（n+1）+···+y^（n+1），共有（n+2）项（x从n+1次递减到0次，共n+1+1-0=n+2项含有x）。

由（x+y）^n到（x+y）^（n+1），多了1次，我们发现多了一个系数。那么这就是杨辉三角中每一行的数字个数比上一行的的数字的个数多1的原因。

这样，我们于是得到了杨辉三角的构造方法：

数列第一项和最后一项的1直接往下挪

每个数等于它上方两数之和

每一行的数字个数比上一行的的数字的个数多1

第一行为1 1

这便是杨辉三角的来历了。

杨辉三角的规律固然简单，二项式定理固然美妙，然而，不了解它们背后的“推导”，觉得它们是理所当然，是天大的遗憾。对待数学的定理，需时常问自己一句“为什么这个定理是这样的？”。学贵有疑。