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扯淡
原名好像是叫hall婚姻定理,好象是用来配对的 然后现在被用来做二分图了 确实非常的好用,这里主要记一下定理的意义极其证明 方便复习 匹配所谓二分图匹配,就是在二分图上找到一个没有交点的边集 (图片转载自这里 图3表示的就是一个二分图匹配 但是此时3与6的边也可以加入现在的边集 所以此时的匹配不是最大匹配,可是即使加上了也不是最大匹配 最大匹配的定义就是,能够覆盖的点集的大小最大 那图4就是最大匹配了,因为他是可以覆盖点集最大的边集,也就是边最多的边集 当然,此时这个匹配也是这个二分图的完美匹配 完美匹配的定义就是,能够覆盖所有的点的匹配 完美匹配:设 M 是二分图 G(V1,V2,E)(|V1|≤|V2|) 的一个匹配,若 ∀vi∈V1,∃k∈V2,(vi,k)∈M,则称 M 为 G 的一个完美匹配。 所以,完美匹配一定是最大匹配,但是最大匹配不一定是完美匹配 好像求二分图匹配的有一个叫做'匈牙利算法',但是我不会 hall 定理 显然我真的觉得挺显然的,你既然要找到二分图的完美匹配 就要找到一个边集覆盖所有的点而且不能有交点, 边还只能连接两侧,所以, 二分图存在完美匹配的一个条件就是两侧点集大小相同 这很显然吧 定理内容第二个条件就可以用hall定理来解释了 Hall 定理:对于一个二分图 \(G(V1,V2,E)(|V1|≤|V2|)\), 对于\(∀X⊆V1\),定义 \(N(X)={vj|(vi,vj)∈E,vj∈V2,vi∈X}\)。 其存在 \(V1\) 的完美匹配的充要条件为 \(∀X⊆V1,|X|≤|N(X)|\)。 简单来说,就是对于二分图其中一个点集的子集 向另外一个点集连边,任意这样的子集所能连到的对应的节点集合大小大于当前集合 证明必要性的话,显然吧,如果连边比当前点集小的话,那就不够了,一定会有剩下的点, 充分性可以通过网络流的思想来证明 如果当前二分图满足hall定理,但是没有找到一个完美匹配 那么两侧分别会剩下一些点,此时我们拿出一个点来 这样的话,这个点一定会有一条连边连向对面,如果对面的点没有选那就直接选上 如果被选了,那也选上,然后它之前连的点就会剩下,那么我再次进行这个过程 然后就会出现一条增广路,最后找到完美匹配。。。 口胡证明, |
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