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首先有几个定理我们需要知道,在这里我也会一一证明。 —————————————————————————————————————— 定理1:gcd(a,b)==gcd(b,a%b);这个是欧几里得提出并证明的。 (%是取余的意思,在数学中 可用mod表示); 以下是证明过程 —————————————————————————————————————— 令a = k * b + r; (k为整数);=> r = a%b; 设d是a,b的任意一个公约数。=> d|a, d|b(d|a的意思是d能被a整除); 又 r = k * b - a =>d|(k*b - a); 以上可得d|b, d|(a%b), =>d是b, a % b的公约数; 以上得 d既是a,b的公约数,又是b, a % b的公约数; 以上可得 gcd(a, b) == gcd(b, a%b); 证毕 —————————————————————————————————————— 定理2:a*x + b*y ==gcd(a,b)一定存在解。这个定理又叫裴蜀定理,或贝祖定理。 以下会证明过程 —————————————————————————————————————— 现在还不会............ —————————————————————————————————————— 以下是求解 a*x +b*y == gcd(a,b)的过程。 —————————————————————————————————————— 当 b = 0时,a * x == gcd(a,0) == a; =>x=1,y=0; 当a>b>0时: 由定理1得gcd(a,b) == gcd(b,a%b); 易得 a*X1 + b*Y1 == b * X2 + (a % b) * Y2; => a*X1 + b*Y1 == b * X2 +(a-[a / b] * b) * Y2; (此处的/是不带余除法,也就是c++中的/); => a*X1 + b*Y1 == a * Y2 + b * (X2 - [a / b] * y2); 以上可得 1. X1 == Y2; 2.Y1 == X2 - [a / b] * y2; 显然 以上两个方程式可以一直递归下去; 我们只要递归到b == 0的时候,就能求出Xn = 1, Yn = 0。然后我们一直往前回溯就能求出 X1,Y1; 代码如下: #include int exgcd(int a, int b, int &x, int &y); int main() { int a, b, x = 0, y = 0; scanf("%d %d",&a, &b); int gcd = exgcd(a,b,x,y); printf("%d %d %d\n", gcd, x, y); return 0; } int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(b>a) return exgcd( b, a, y, x); if(b==0) { x = 1, y = 0; return a; } int r=exgcd(b, a%b, x, y); int temp = x; x = y; y = temp - (a/b) * y; return r; }以上是求 a*x +b*y == gcd(a,b)某一组特解X1,Y1的过程 所以a*x + b*y == gcd(a,b)的通解为 X = X1 - b/gcd(a,b)*t Y = Y1 + a/gcd(a,b)*t t为任意整数。 —————————————————————————————————————— 以下就是求ax + by = c的过程。为了好表示,我们将上一步的ax + by == gcd(a,b) 等价为 am + bn == gcd(a,b). —————————————————————————————————————— 当c % gcd(a,b) == 0 时有解,令 k * gcd(a,b) == c; => k*a*m + k*b*n == k*gcd(a,b); =>x == k*m == c*m/gcd(a,b) , y == k*n == c*n/gcd(a,b) ; 设 X0 ,Y0 是 a*x + by 的某一特解。则 该不定方程的通解为 X = X0 - b/gcd(a,b)*t; Y = Y0 + a/gcd(a,b)*t; t为任意一个整数 X = (c*M0 - b*t)/gcd(a,b); Y = (c*N0 + a*t)/gcd(a,b); —————————————————————————————————————— 综上求解不定方程a*x + b*y == c的步骤为 1. 先用扩展欧几里得求出 a*m + b* y ==gcd(a,b)的一组特解 M0,N0; 2. 求出a*x + b*y ==c 的通解为 X = (c*M0 - b*t)/gcd(a,b); Y = (c*N0 + a*t)/gcd(a,b); |
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