三角函数（复数）

2024-06-03 13:17| 来源: 网络整理| 查看: 265

三角函数（复数）

贡献者： addis

预备知识　指数函数（复数） 1. 定义

　　定义复数域的正弦函数为

\begin{equation} \sin z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} z}}{2 \mathrm{i} }~. \end{equation} 定义复数域的余弦函数为 \begin{equation} \cos z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} z}}{2}~. \end{equation} 为什么三角函数要这么定义？因为只有这么定义，才能既 “兼容” 实数范围内的三角函数，同时满足解析的要求，即以后会学习的柯西—黎曼条件。 2. 与实数函数的 “兼容性”

　　 “兼容性” 在这里指若将一个复变函数的自变量取实数，那么结果与使用同名的实数函数相同。例如将式 1 中的复数 $z$ 取实数 $x$，得

\begin{equation} \sin x = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} }~. \end{equation} 根据复数域指数函数的定义，在这里具体指欧拉公式，得 \begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x~, \end{equation} \begin{equation} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i} \sin x~, \end{equation} 代入得 \begin{equation} \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} } = \frac{(\cos x + \mathrm{i} \sin x) - (\cos x - \mathrm{i} \sin x)}{2 \mathrm{i} } = \sin x~. \end{equation} 同理可证式 2 在实轴上成立。证毕。 3. 两角和公式

　　利用欧拉公式，容易证明，复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式

\begin{equation} \sin\left(z_1 + z_2\right) = \sin {z_1}\cos {z_2} + \cos {z_1}\sin {z_2}~, \end{equation} \begin{equation} \cos\left(z_1 + z_2\right) = \cos {z_1}\cos {z_2} - \sin {z_1}\sin {z_2}~. \end{equation} 4. 实部和虚部

　　利用两角和公式，令 $z_1$ 等于实数 $x$， $z_2$ 等于虚数 $ \mathrm{i} y$，则有

\begin{equation} \sin z = \sin\left(x + \mathrm{i} y\right) = \sin x\cos \mathrm{i} y + \cos x\sin \mathrm{i} y~, \end{equation} \begin{equation} \cos z = \cos\left(x + \mathrm{i} y\right) = \cos x\cos \mathrm{i} y - \sin x\sin \mathrm{i} y~. \end{equation} 其中 \begin{equation} \cos\left( \mathrm{i} y\right) = \frac{ \mathrm{e} ^{-y} + \mathrm{e} ^y}{2} = \cosh y~, \end{equation} \begin{equation} \sin\left( \mathrm{i} y\right) = \frac{ \mathrm{e} ^{-y} - \mathrm{e} ^y}{2 \mathrm{i} } = \mathrm{i} \frac{ \mathrm{e} ^y - \mathrm{e} ^{-y}}{2} = \mathrm{i} \sinh y~. \end{equation} 代入得 \begin{equation} \sin z = \sin\left(x + \mathrm{i} y\right) = \sin x\cosh y + \mathrm{i} \cos x\sinh y~, \end{equation} \begin{equation} \cos z = \cos\left(x + \mathrm{i} y\right) = \cos x\cosh y - \mathrm{i} \sin x\sinh y~. \end{equation} 这样，就把正余弦的实部和虚部分开来了（当然也可以根据定义直接得到两式）。 致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

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