【从几何角度理解

对于二维空间两个基向量 i ^ \hat i i^ 和 j ^ \hat j j^​，发生线性变换之后得到

i ^ = [ 3 0 ] \hat i = \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ \end{bmatrix} i^=[30​] 和 j ^ = [ 1 2 ] \hat j = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ \end{bmatrix} j^​=[12​]

用矩阵来表示 [ 3 1 0 2 ] \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix} [30​12​]

若仅仅考虑这个向量张成的原空间（未发生线性变换）

补充：张成（span）：向量空间 V V V中的一组向量 ( V 1 , V 2 , . . . , V m ) (V_1,V_2,...,V_m) (V1​,V2​,...,Vm​)的线性组合是如下形式的向量： a 1 v 1 + a 2 v 2 + . . . + a m v m a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_mv_m a1​v1​+a2​v2​+...+am​vm​

若发生线性变换之后，大部分向量都离开了其张成的空间

若发生线性变换之后，某些特殊向量的确留在它们张成的空间里

意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或者压缩而已，如同一个标量

i ^ \hat i i^张成的空间为x轴， [ 3 0 ] \begin{bmatrix} 3\\ 0\\ \end{bmatrix} [30​]意味着 i ^ \hat i i^变成了原来的3倍，仍留在在x轴上

因此，在x轴上的任何其他向量都只是被拉伸为原来的3倍，它们也留在了 i ^ \hat i i^张成空间里

还有一个略显隐蔽的向量 [ − 1 1 ] \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ \end{bmatrix} [−11​]，在变换汇总也留在自己张成的空间里，最终被拉伸为原来的2倍

同上，线性性质暗示着一点，处在它所张成的对角线上的其他任何一个向量 ，也仅仅倍拉伸为原来的2倍

对于上述矩阵，以上两向量就是拥有这一特殊性质它们张成的空间里）的向量

因此，上述这些特殊向量就被称为变换的“特征向量”

特征值为负，意味着这个向量被反向，并压缩为原来的1/2

发生线性变换之后，该向量依旧停留在它张成的直线上，并未发生旋转

对于任一矩阵描述的线性变换

可以通过将矩阵的列看作变换后的基向量来理解它

但这较少依赖于特定坐标系

最好理解线性变换在于，求出从矩阵变换之后的特征向量和特征值

特征向量概念 A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec v = \lambda \vec v Av =λv

抽象理解：变换矩阵 A A A和特征向量 v ⃗ \vec v v 乘积，发生线性变换，等价于， 特征向量 v ⃗ \vec v v 拉伸或压缩了多少倍的特征值 λ \lambda λ

实际上就是求解使得这个等式成立的向量 v ⃗ \vec v v 和数 λ \lambda λ

Squishification（空间压缩） 等价于 d e t ( A − λ I ) = 0 det(A - \lambda I) = 0 det(A−λI)=0 #举例

考虑每个对角元都减去某个变量 λ \lambda λ

矩阵本身发生改变，因此行列式也在改变

找到一个 λ \lambda λ使得这个行列式为0

使得 ( A − λ I ) v ⃗ = 0 ⃗ (A-\lambda I) \vec v = \vec 0 (A−λI)v =0 ， I I I为单位阵 #几何解释

向量 v ⃗ \vec v v 在变换中停留在它张成的空间里

在上述例子中，v对应的特征值为1，实际上保持不变

#公式推导 A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec v = \lambda \vec v Av =λv A v ⃗ − λ v ⃗ = 0 A\vec v - \lambda \vec v = 0 Av −λv =0 ( A − λ I ) v ⃗ = 0 ⃗ (A-\lambda I)\vec v = \vec 0 (A−λI)v =0 d e t ( A − λ I ) = 0 det(A-\lambda I) = 0 det(A−λI)=0 #举例

将 λ = 2 \lambda = 2 λ=2 带入矩阵之后，求解线性方程组 [ 1 1 0 0 ] [ x y ] = [ 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix} [10​10​][xy​]=[00​]

由于， r ( A ) = r ( [ A , B ] ) = 1 r(A) = r([A,B]) = 1 r(A)=r([A,B])=1 该方程组有唯一解，且解为 [ − 1 1 ] \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ \end{bmatrix} [−11​] （特征向量）张成的对角线上

相较于原始矩阵，相当于将特征向量拉伸为原来的2倍

若将原始矩阵 旋转90°

一般来说，特征值出现复数的情况，一般对应于变换中的某种旋转

#剪切变换

矩阵的对角线是它们所属的特征值 #性质

相较于非对角矩阵

对于非对角矩阵（非特殊矩阵）

发生线性变换有许多的特征向量，多到能选出一个张成全空间的集合，即为满秩

就能将这些特殊向量作为基

#举例

#剪切变换

对于剪切变换，它的特征向量不够多，并不能张成全空间（不为满秩）

因为只有一个特征向量 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix} [10​] #作业

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