求微分方程的通解例题

求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解

解：y[ydx+(3x-4y²)dy]=0；消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①；

【由此可知：y=0是方程的一个特解】

P=y；Q=3x-4y²；∂P/∂y=1；∂Q/∂x=3；由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=H(y);

因此方程①有积分因子μ：

用y²乘方程①的两边得：y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②

此时P=y³；Q=3xy²-4y^5；满足 ∂P/∂y=3y²=∂Q/∂x；故②是全微分方程。∴其通解u(x，y):

这也是原方程的通解【取微分后消去y²即得原方程】