R语言MCMC:Metropolis

最近我们被客户要求撰写关于MCMC的研究报告，包括一些图形和统计输出。

MCMC是从复杂概率模型中采样的通用技术。

如果需要计算有复杂后验pdf p（θ| y）的随机变量θ的函数f（θ）的平均值或期望值。

您可能需要计算后验概率分布p（θ）的最大值。

解决期望值的一种方法是从p（θ）绘制N个随机样本，当N足够大时，我们可以通过以下公式逼近期望值或最大值

将相同的策略应用于通过从p（θ| y）采样并取样本集中的最大值来找到argmaxp（θ| y）。

1.1直接模拟

1.2逆CDF

1.3拒绝/接受抽样

如果我们不知道精确/标准化的pdf或非常复杂，则MCMC会派上用场。

为了模拟马尔可夫链，我们必须制定一个 过渡核T（xi，xj）。过渡核是从状态xi迁移到状态xj的概率。

 马尔可夫链的收敛性意味着它具有平稳分布π。马尔可夫链的统计分布是平稳的,那么它意味着分布不会随着时间的推移而改变。

 对于一个Markov链是平稳的。基本上表示

处于状态x并转换为状态x'的概率必须等于处于状态x'并转换为状态x的概率

或者

方法是将转换分为两个子步骤；候选和接受拒绝。

令q（x'| x）表示 候选密度，我们可以使用概率 α（x'| x）来调整q  。

候选分布 Q（X'| X）是给定的候选X的状态X'的条件概率，

和 接受分布 α（x'| x）的条件概率接受候选的状态X'-X'。我们设计了接受概率函数，以满足详细的平衡。

该 转移概率 可以写成：

插入上一个方程式，我们有

A的选择遵循以下逻辑。

在q下从x到x'的转移太频繁了。因此，我们应该选择α（x | x'）=1。但是，为了满足 细致平稳，我们有

下一步是选择满足上述条件的接受。Metropolis-Hastings是一种常见的 选择：

即，当接受度大于1时，我们总是接受，而当接受度小于1时，我们将相应地拒绝。因此，Metropolis-Hastings算法包含以下内容：

3.接受根据α（x'| x）的状态。如果不接受，则不会进行转移，因此无需更新任何内容。否则，转移为x'；

4.转移到2，直到生成T状态；

5.保存状态x，执行2。

原则上，我们从分布P（x）提取保存的状态，因为步骤4保证它们是不相关的。必须根据候选分布等不同因素来选择T的值。 重要的是，尚不清楚应该使用哪种分布q（x'| x）；必须针对当前的特定问题进行调整。

Metropolis-Hastings算法的一个有趣特性是它 仅取决于比率

是候选样本x'与先前样本xt之间的概率，

是两个方向（从xt到x'，反之亦然）的候选密度之比。如果候选密度对称，则等于1。

马尔可夫链从任意初始值x0开始，并且算法运行多次迭代，直到“初始状态”被“忘记”为止。这些被丢弃的样本称为预烧（burn-in）。其余的x可接受值集代表分布P（x）中的样本

让我们看看从 伽玛分布 模拟任意形状和比例参数，使用具有Metropolis-Hastings采样算法。

下面给出了Metropolis-Hastings采样器的函数。该链初始化为零，并在每个阶段都建议使用N（a / b，a /（b * b））个候选对象。

基于正态分布且均值和方差相同gamma的Metropolis-Hastings独立采样