密码学：RSA加密算法详解

  本文旨在说明RSA加密算法的原理及实现，而其相关的数学部分的证明则不是本文内容。

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作者：Q-WHai

发表日期： 2016年2月29日

本文链接：http://blog.csdn.net/lemon_tree12138/article/details/50696926

来源：CSDN

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  1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。

                                                                                   -- 摘自网络

  此部分旨在补充本文的完整性。如果说你已经了解，或是不想了解此部分内容。那么可以直接跳过此部分的阅读。

  虽说只是补充说明（只能是补充的原因是因为博主的数学也是比较差的-_-!!!），但是此部分的内容却是相当重要的。博主还是希望可以重新阅读一下此部分。

  从小学开始，我们就了解了什么是质数。互质是针对多个数字而言的，如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，那么就称这两个数是互质关系（注意，这里并没有说这两个数一定是质数或有一个为质数。比如15跟4就是互质关系）。以下有一些关于质数与互质的性质：

  欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数。其通式为：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。

  其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。看到这里是不是有一些头疼，太理论的东西的确不够具象。我们且不去理会后面公式计算与论证，因为已经超出本文的范围了。就前一句来说说吧，欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数。这里我可以列举一个例子：

  令x = 16，那么x的所有质因数为：φ(16) = 16 * (1 - 1/2) = 8

  我们也可以枚举出所有比16小，且与16互质的数：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

  现在也给出部分欧拉函数的性质：

  欧拉函数更多参考请见这里的链接。

定义：如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。

关于模反元素的求解，使用的是朴素的解法。如果读者想要更进一步了解的话，请自行搜索其他解法（比如：辗转相除法、欧几里德算法）。

  在RSA原理之前，我想还是有必要了解一下非对称加密算法的加密跟解密过程。下面就是一幅非称加密算法的流程图。

  在此可以看到，非对称加密是通过两个密钥（公钥-私钥）来实现对数据的加密和解密的。公钥用于加密，私钥用于解密。对于非对称的加密和解密为什么可以使用不同的密钥来进行，这些都是数学上的问题了。不同的非对称加密算法也会应用到不同的数学知识。上面也对RSA中使用的数学问题做了一个小小的介绍。现在就来看看RSA算法是怎么来对数据进行加密的吧，如下是一幅RSA加密算法流程及加密过程图。

  就以上图中的Bob和Alice来举例吧。

  现在Alice通过密钥生成器生成了一对密钥（公钥-私钥）。只把公钥对外公开了。并说，你有什么要跟我说的，就用模幂运算和公钥加密后发给我吧。

  此时，Bob已经获得了Alice发布的公钥。使用模幂运算对明文进行了加密，就把加密后的密文发送给了Alice。

  Alice获得Bob发来的密文并没有使用公钥对密文进行解密，并获得了明文。因为解密过程需要使用的密钥是私钥。

  下面的代码只是根据RSA算法的定义，使用Java开发语言实现。且这里只是展示了一些关键步骤，完整过程可以参见下面的源码下载文档。