一元函数微分学

1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：

（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；

（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分．

2．求下列函数的导数：

（1） y=x^3-2\sqrt x+\frac 1{\sqrt[3]x}+\sin1 ；

（2） y=\sec x\tan x;

（3） y=\frac{(1+x)^3}{x} ；

（4） y=x^2\sin x\ln x ；

（5） y=3^x+2\arctan x-\frac{x-1}{x+1} ；

（6） y=e^x\cot x ；

（7） y=\frac{e^x}{x}+\ln2 ；

（8） s=\frac{\sin t}{1+\cos t} ．

3．求下列函数在指定点的导数或微分：

（1） f(x)=2^x\ln x ，求 f'(1) 与 f'(2) ；

（2） y=\sin x\cos x+3x^2 ，求 \left. dy\right|_{x=0} 与 \left. dy\right|_{x=\pi} ．

4．求下列函数的导数：

（1） y=(3+2x)^6 ；

（2） y=\ln\sin(2-3x) ；

（3） y=e^{x^2+x+1} ；

（4） y=(\arctan 2x)^2 ；

（5） y=2\arcsin\frac{\sqrt x}2 ；

（6） y=\cos(\cos x) ；

（7） y=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} ；

（8） y=\sqrt{1+\sin 2x} ；

（9） y=\ln(1-3x^2) ；

（10） y=\sec^2(1-x) ．

5．求下列函数的微分 ：

（1） y=x^3-2^x+\frac2x+\log_2x ；

（2） y=e^{x^2}\sin 3x ；

（3） y=\cos^2(1+\ln 2x) ；

（4） y=\ln(x+2\sqrt x) ；

（5） y=\frac1{\sqrt{x-x^2}} ；

（6） y=\arctan\frac{2x}{1-x^2} ；

（7） y=\frac{\cos 3x}{x} ；

（8） y=\ln(\sec x+\tan x) ．

6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：

（1） d(\ \ \ \ \ \ )=3dx ；

（2） d(\ \ \ \ \ \ )=\frac2{x}dx ；

（3） d(\ \ \ \ \ \ )=\cos xdx ；

（4） d(\ \ \ \ \ \ )=\frac1{2\sqrt x}dx ；

（5） d(\ \ \ \ \ \ )=4xdx ；

（6） d(\ \ \ \ \ \ )=e^{-2x}dx ；

（7 d(\ \ \ \ \ \ )=\sec^23xdx ；

（8） d(\ \ \ \ \ \ )=\frac1{1+x^2}dx ．