常见函数的级数展开及推导

指数函数的展开（利用定义式即可得到，并注意到 ( e x ) ′ = e x (\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x (ex)′=ex）： e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x k k ! \mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} ex=1+x+2x2​+3!x3​+⋯=k=0∑∞​k!xk​

最基本的一个幂级数（由等比数列求和公式取极限得到）： 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x k \frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{k=0}^\infty x^k 1−x1​=1+x+x2+⋯=k=0∑∞​xk 同理可得到 1 1 + x = 1 − x + x 2 − ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x k \frac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kx^k 1+x1​=1−x+x2−⋯=k=0∑∞​(−1)kxk

对数函数的展开： ln ⁡ ( 1 + x ) = ∫ 1 1 + x   d x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 x k + 1 = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ \begin{aligned} \ln(1+x) &=\int\frac1{1+x}\,\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}\\ &=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots \end{aligned} ln(1+x)​=∫1+x1​dx=k=0∑∞​k+1(−1)k​xk+1=x−2x2​+3x3​−⋯​

三角函数的展开，利用定义即可得到（注意到正弦函数的偶阶导仍为正弦，所以其在原点处的值均为 0 0 0）： sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} sin(x)=x−3!x3​+5!x5​−⋯=n=0∑∞​(2n+1)!(−1)nx2n+1​ 上式求导即可得到： cos ⁡ ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!} cos(x)=1−2!x2​+4!x4​−⋯=n=0∑∞​(2n)!(−1)nx2n​ 正切函数的展开式推导比较复杂，这里只列出前三项： tan ⁡ ( x ) = x + x 3 3 + 2 15 x 5 + ⋯ \tan(x)=x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+\cdots tan(x)=x+3x3​+152​x5+⋯

二项式的展开：

这个展开式比较复杂，但也是比较重要的（极限的计算、组合数学常用），因为这个就是牛顿广义二项式定理（其中对组合数进行了推广）。推导过程可以从幂级数的高阶导数入手，归纳即可得到下面的式子。

( y + x ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) y α − k x k = ∑ k = 0 ∞ ( α ) k k ! y α − k x k = ∑ k = 0 ∞ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! y α − k x k \begin{aligned} (y+x)^\alpha &=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_k}{k!}y^{\alpha-k}x^{k}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k !}y^{\alpha-k}x^{k} \end{aligned} (y+x)α​=k=0∑∞​(kα​)yα−kxk=k=0∑∞​k!(α)k​​yα−kxk=k=0∑∞​k!α(α−1)⋯(α−k+1)​yα−kxk​ 其中 α ∈ R \alpha\in\mathbb{R} α∈R, ( α ) k (\alpha)_k (α)k​代表 k k k次下阶乘。

上式中常取 y = 1 y=1 y=1，这时就有下面几个常用结论(主要推导过程需要借助牛顿二项式定理)：

1 + b x = 1 + b 2 x − b 2 8 x 2 + b 3 16 x 3 − ⋯ = 1 + b 2 x + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\sqrt{1+bx}&=1+\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2+\frac{b^3}{16}x^3-\cdots\\&=1+\frac b2x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1+bx ​​=1+2b​x−8b2​x2+16b3​x3−⋯=1+2b​x+k=2∑∞​(−1)k−1(2k)!!(2k−3)!!​bkxk​

1 − b x = 1 − b 2 x − b 2 8 x 2 − b 3 16 x 3 − 5 b 4 128 x 4 − ⋯ = 1 − b 2 x − ∑ k = 2 ∞ ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\sqrt{1-bx}&=1-\frac{b}2x-\frac{b^2}{8}x^2-\frac{b^3}{16}x^3-\frac{5b^4}{128}x^4-\cdots\\&=1-\frac b2x-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1−bx ​​=1−2b​x−8b2​x2−16b3​x3−1285b4​x4−⋯=1−2b​x−k=2∑∞​(2k)!!(2k−3)!!​bkxk​

1 1 + b x = 1 − b 2 x + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 b 2 x 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 b 3 x 3 + ⋯ = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\frac1{\sqrt{1+bx}}&=1-\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1+bx ​1​​=1−2b​x+2⋅41⋅3​b2x2−2⋅4⋅61⋅3⋅5​b3x3+⋯=1+k=1∑∞​(−1)k(2k)!!(2k−1)!!​bkxk​

1 1 − b x = 1 + b 2 x + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 b 2 x 2 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 b 3 x 3 + ⋯ = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! b k x k \begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{1-bx}}&=1+\frac b2 x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}b^2x^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}b^3x^3+\cdots\\&=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}b^kx^k\end{aligned} 1−bx ​1​​=1+2b​x+2⋅41⋅3​b2x2+2⋅4⋅61⋅3⋅5​b3x3+⋯=1+k=1∑∞​(2k)!!(2k−1)!!​bkxk​

1 ( 1 + x ) 2 = ( − 1 1 + x ) ′ = ( ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ) ′ = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k x k − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) x k \begin{aligned} \frac1{(1+x)^2}&=\left(-\frac1{1+x}\right)^\prime =\left(\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k+1}x^k\right)^\prime\\ &=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}kx^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}(k+1)x^{k} \end{aligned} (1+x)21​​=(−1+x1​)′=(k=0∑∞​(−1)k+1xk)′=k=1∑∞​(−1)k+1kxk−1=k=0∑∞​(−1)k(k+1)xk​

反三角函数的展开式，可以由幂级数展开式积分直接得到。

y = arctan ⁡ ( x ) y=\arctan(x) y=arctan(x)：根据 y ′ = 1 1 + x 2 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k y'=\dfrac1{1+x^2}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{2k} y′=1+x21​=k=0∑∞​(−1)kx2k，得到 arctan ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ \arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots arctanx=k=0∑∞​(−1)k2k+1x2k+1​=x−3x3​+5x5​−⋯

y = arcsin ⁡ ( x ) y=\arcsin(x) y=arcsin(x)：根据 y ′ = ( 1 − x 2 ) − 1 2 y'=(1-x^2)^{-\frac12} y′=(1−x2)−21​，使用上面的二项式定理可得到 arcsin ⁡ x = x + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 = x + x 3 6 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + ⋯ \begin{aligned} \arcsin x &=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}x^{2k+1} \\ &=x+\frac{x^3}{6}+\frac3{40}x^5+\frac{5}{112}x^7+\cdots \end{aligned} arcsinx​=x+k=1∑∞​(2k)!!(2k+1)(2k−1)!!​x2k+1=x+6x3​+403​x5+1125​x7+⋯​

y = arccos ⁡ ( x ) y=\arccos(x) y=arccos(x): 由于其导数与 arcsin ⁡ ( x ) \arcsin(x) arcsin(x)的导数互为相反数. 所以展开式也可以由上式前面整体添负号然后积分得到, 或者直接应用二者的关系式: arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x , \arccos x=\frac\pi2-\arcsin x, arccosx=2π​−arcsinx,

得到: arccos ⁡ x = π 2 − x − ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 k ) ! ! ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 = π 2 − x − x 3 6 − 3 40 x 5 − 5 112 x 7 − ⋯ \begin{aligned} \arccos x &=\frac\pi2-x-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!(2k+1)}x^{2k+1} \\ &=\frac\pi2-x-\frac{x^3}{6}-\frac3{40}x^5-\frac{5}{112}x^7-\cdots \end{aligned} arccosx​=2π​−x−k=1∑∞​(2k)!!(2k+1)(2k−1)!!​x2k+1=2π​−x−6x3​−403​x5−1125​x7−⋯​

注意, 上面反余弦函数的展开式, 如果直接用不定积分会出现问题, 在积分之后会出现一个常数, 这个常数可以通过代入一个值, 如 x = 0 x=0 x=0, 得到的常数 C C C就是上述关系式中的 π 2 \frac\pi2 2π​.