有关e^x和lnx的常用不等式集锦

1. e^x\geq x+1 ，当且仅当 x=0 时等号成立.

【证明】构造 f(x)=e^x-x-1,f'(x)=e^x-1 f(x) 在 (-\infty,0)\downarrow,(0,+\infty)\uparrow ，则

f(x)\geq f(0)=0.

2. e^x\geq ex ，当且仅当 x=1 时等号成立.

【证明】在1中用 x-1 代替 x 即可.

3.当 x\in R,a\in R 时，有 e^x\geq e^ax+e^a(1-a) ，当且仅当 x=a 时取等.

【证明】证明非常简单，此处仅提示，由于 f(x)=e^x,f''(x)=e^x>0 ，则它下凸，那么运用切线法，它大于它所有的切线，这就是这个不等式的由来.

（PS:当然，考试时作差即可.）

4.若 n\in N_+ ,则有 e^x\geq \left(\frac{e}{n}\right)^nx^n ，当且仅当 x=n 时等号成立.

【证明】这个显然，留给读者.（PS:令 \frac{x}{n} 代替 x ，此不等式可将2018全国二理数秒掉.）

5.若 n\in N_+,x\geq 0 ，则 e^x\geq\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!} ，当且仅当 x=0 时等号成立.

【证明】将 f(x)=e^x 在 x=0 处 taylor 展开(即麦克劳林展开)，得到：

e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\geq\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!} ，即证.

6. x0,\ln x\leq x-1 ，当且仅当 x=1 时等号成立.

【证明】令 f(x)=\ln x-x+1,f'(x)=\frac{1-x}{x} ,则 f(x) 在 (0,1)\uparrow,(1,+\infty)\downarrow ，则

f(x)\leq f(1)=0 .

2.若 x>0,a>0 ，则 \ln x\leq\frac{x}{a}+\ln a-1 ，当且仅当 x=a 时等号成立.

【证明】留给读者，仿照上方切线法，此为上凸函数.

(特殊说明：令 a=e 得到 \ln x\leq\frac{x}{e} .)

3.若 x\geq1 ,则 \ln x\leq\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right) ,当且仅当 x=1 时等号成立.

【证明】事实上，画出 \ln x,x-1 图像，有：

则有 \int_{1}^x\ln tdt\leq\int_{1}^x(t-1)dt ，左端为 \int_{1}^x\ln tdt=x\ln x-x+1 ，

右端为 \int_{1}^x(t-1)dt=\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2} ，则整理即证.

4.若 x>0 ，则 x\ln x\geq x-1 ，即 \ln x\geq\frac{x-1}{x} ，当且仅当 x=1 时等号成立.

【证明】由于\ln x\leq x-1，用 \frac{1}{x} 代替 x ，立即得到.

三、一个可怕的不等式链条.

对 a,b>0,a\ne b ，有：

(a^bb^a)^{\frac{1}{a+b}}