考研变限积分概念超详细，超通俗讲解（变限积分和原函数关系）

本文将会带你透彻搞懂以下三个东西（以变上限积分函数为例）：

下面来分条详细讲解，文末有总结+例题

要弄清楚它们之间的关系，首先我们来看定积分和不定积分是什么。

1.什么是不定积分？

说白了，不定积分就是求被积函数的一系列原函数（考虑到后面加了个任意常数c）。

所以一个函数有不定积分就可以说它有原函数。

2.什么是定积分？

定积分最初被发明出来是为了求不规则图形的面积，它是与面积有关的。

所以如果能求出一个函数在某个区间与 x 轴围成的面积，那么它在这个区间的定积分就是存在的，也可以说这个函数在这个区间是可积的。

3.定积分和原函数的关系：

那么他们之间有什么关系呢？其实一开始他们之间一点关系都没有。直到后来一个“牛掰”的理论将它们建立了联系，它就是牛顿-莱布尼兹。它是这样说的：

这样就将原函数与定积分联系在了一起。

a. f(x) 连续时，变上限积分和原函数的联系：

此时在区间[a,b] 内找一点 c_{1} ，则根据牛顿-莱布尼兹得： \int_{a}^{c_{1}}f(t)dt=F(c_{1})-F(a)

此时再找一点 c_{2} ，则根据牛顿-莱布尼兹得： \int_{a}^{c_{2}}f(t)dt=F(c_{2})-F(a)

以此类推，在区间[a,b] 内任找一点都有这个关系。用变量表达就是：

对于任意 x\in[a,b] , \int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a) 。

由于 F(a) 是一个常数，所以设 c=-F(a) ，于是就有 \int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)+c 。

由此可见，变上限积分 \int_{a}^{x}f(t)dt 可以看成是被积函数 f(x) 的一个原函数。

但是这一切都是建立在牛顿-莱布尼兹上的，而这个公式中要求函数在积分区间是连续的(前面提到过的关键)。所以当 f(x) 在区间 [a,b] 上不连续的话，情况就不一样了。

b. f(x) 不连续时，两者的情况：

首先看原函数：

(1)如果 f(x) 在区间 [a,b] 上有第一类间断点或无穷间断点，则其在该区间上没有原函数

(2)如果 f(x) 在区间 [a,b] 上有振荡间断点，则其在该区间上可能有原函数

p.s.接下来会有小伙伴问：

(2)也可以按照(1)的证明方法来，最后得到 f(x_{0})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)} 这个式子，而振荡间断点也不满足这个式子，按理说也否定了其具有原函数的可能性，但是结果为啥是有可能呢？

再看变限积分：

由于考研主要考含第一类间断点的变限积分，所以这里仅以第一类间断点为例。同时，因为变限积分是定积分变形而来的，故其也可以表示面积。所以接下来以面积来描述变限积分的情况。

可去间断点的情况：

首先大家知道：有限个有限长的线，它们的面积总和为0，因此对于一个二维图形而言，增加或者减少若干根有限长的线，其面积不变。如下图：

图中左侧的函数 g(x) 就是右侧函数 f(x) 添加若干个可去间断点后所成的函数（ x_{1} ，x_{2}，x_{3}均为可去间断点）

由于函数 f(x)在区间 [a,b] 上是连续的，所以 \int_{a}^{b}f(x)dx 肯定是存在的。

同时，从图中对比左右两侧绿色区域的面积，发现仅仅是添加/去除若干根有限长度线的差别，所以函数 g(x) 与 x=a，x=b，y=0 所围成的面积等于连续函数 f(x)与它们所围成的面积。即 \int_{a}^{b}g(x)dx是存在的，由于它的存在，所以对于任意 x\in[a,b] , \int_{a}^{x}g(t)dt 也是存在的。

所以，若函数 g(x) 在区间 [a,b] 上存在有限个可去间断点，那么它在 [a,b] 上有定积分，

同时也有变限积分\int_{a}^{x}g(t)dt ，其中 x\in[a,b] ,

跳跃间断点的情况：

对于跳跃间断点的情况，我们可以将其拆成若干个面积和，如下图：

c 点是函数 g(x) 的跳跃间断点，且函数与 x=a,x=b,x=c,y=0 围成的面积为 S 。由图可知，S可以拆成两个面积之和（ S_{1}+S_{2} ），由于 g(x) 在区间 [a,c] 和[c,b]上都是连续的，所以 S_{1} 和S_{2}均存在，故 S 是存在的。

这是仅有一个跳跃间断点的情况，分为了两块计算面积；由此类推有 k(k\in N^{+}) 个间断点，可以分成 k+1 块算面积。所以，含有有限个跳跃间断点的函数的定积分也是存在的，对应的变限积分当然也存在。

综上就有了结论：若函数 g(x) 在区间 [a,b] 上存在有限个第一类间断点，那么它在 [a,b] 上有定积分，同时也有变限积分\int_{a}^{x}g(t)dt ，其中 x\in[a,b] 。

到此第一个问题结束，开始第二个问题：

考研常常研究的是有界分段函数的变上限积分，且函数在每个分段区间内是连续的。因此我们主要研究分段点处的情况，一般来说分为以下三种情况：

以下针对这三种情况来研究：

1.分段点处连续

此时分段函数在定义域内是连续的，所以可以用牛顿-莱布尼茨进行计算：

那么此时原函数怎么算呢？具体如下：

2.分段点为可去间断点

根据之前所讲，有若干个可去间断的函数所围成的面积等于对应连续函数所围成的面积。所以我们直接算连续函数围成的面积就可以，而连续函数所围成的面积可以通过牛顿-莱布尼茨算，这样就搞定了。

3.分段点为跳跃间断点

根据之前讲的拆分面积，将函数拆分成若干个子区间的连续函数，进行计算就可以了。注意此时需要根据分段点来对变上限函数分段。以下图为例，c 是函数 g(x) 的一个跳跃间断点。

a.当 t\in[c,b] 时，变限积分的值就等于 g_{1}(t) 在区间 [a,c] 内的定积分加上g_{2}(t) 在区间 [c,x]上的积分，由于它们在各自区间是连续的，所以可以运用牛顿-莱布尼茨公式算。

b.当 t\in[a,c) 时，变限积分的值就等于 g_{1}(t) 在区间 [a,x] 内的积分，由于其在该区间是连续的，所以直接运用牛顿-莱布尼茨公式算。

这里只举了一个跳跃间断点的情况，多个跳跃间断点做法类似，可自行思考。

重点技巧：观察三种情况，对于求分段函数的变上限积分函数，有一个通用做法：

我简单的推一下：

g_{1}(x) 和g_{2}(x)都是连续的，所以都有原函数，设g_{1}(x) 原函数为 G_{1}(x) ，g_{2}(x)原函数为 G_{2}(x)

这样的话，无论分段点是连续还是第一类间断，都可以用这个通法做。

到此第二个问题解决，进入第三个问题：

还是分别以可去间断点和跳跃间断点来说明：

1.可去间断点

根据之前所讲：若 g(x) 在区间 [a,b] 上有有限个可去间断点，则 \int_{a}^{x}g(t)dt=\int_{a}^{x}f(t)dt=F(x)-F(a) ，其中 x\in[a,b] 。

由于 F(x) 是连续函数 f(x) 的原函数，所以其一定是连续的，可导的。因此 \int_{a}^{x}g(t)dt， x\in[a,b] 是连续的，可导的。

2.跳跃间断点

这里还是以一个跳跃间断点为例，多个可类比。

按照我们之前所讲，根据x所在区间的不同，进而有多个不同的表达式，如下图：

首先判断在跳跃间断点处，变限积分是否连续：

\lim_{x \rightarrow c^{+}}{}\int_{a}^{x}g(t)dt=\lim_{x \rightarrow c^{+}}{}G_{1}(c)-G_{1}(a)+G_{2}(x)-G_{2}(c)=G_{1}(c)-G_{1}(a) \lim_{x \rightarrow c^{-}}{}\int_{a}^{x}g(t)dt=\lim_{x \rightarrow c^{-}}G_{1}(x)-G_{1}(a)=G_{1}(c)-G_{1}(a)

\int_{a}^{c}g(t)dt=G_{1}(c)-G_{1}(a)

所以： \int_{a}^{x}g(t)dt 在 x=c 处连续，即在跳跃间断点处连续

接着再判断在跳跃间断点处，变限积分是否可导：（设 \int_{a}^{x}g(t)dt=F(x) ）

F_{+}'(c)=\lim_{x \rightarrow c^{+}}{\frac{F(x)-F(c)}{x-c}}=\lim_{x \rightarrow c^{+}}{\frac{G_{1}(c)-G_{1}(a)+G_{2}(x)-G_{2}(c)-[G_{1}(c)-G_{1}(a)]}{x-c}}=g_{2}(c^{+})

F_{-}'(c)=\lim_{x \rightarrow c^{-}}{\frac{F(x)-F(c)}{x-c}}=\lim_{x \rightarrow c^{-}}{\frac{G_{1}(x)-G_{1}(a)-[G_{1}(c)-G_{1}(a)]}{x-c}}=g_{1}(c^{-})

由于 c 是跳跃间断点，所以 g_{2}(c^{+})\ne g_{1}(c^{-}) ，因此 F(x) 在 c 点左导数不等于右导数，因此不可导。

判断性问题总结如下：

用上述结论能够快速搞定一些选择题。

关于分段函数算变限积分总结如下：

此为求变上限积分函数的通用方法，可以快速计算一些变上限积分。

用上述结论1可以快速秒杀：x=\pi是分段函数 f(x) 的跳跃间断点，根据结论1中的第5条，选c。

接下来，我们求一下 F(x) 的表达式，根据我们的结论2，我们轻松解出：

当x\in[0,\pi) 时： F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=-cosx+cos0=1-cosx

当x\in[\pi,2\pi] 时：

F(x)=\int_{0}^{x}f(x)dx=-cos\pi+cos0+2x-2\pi=2x+2(1-\pi)

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