泰勒公式、泰勒定理、泰勒级数、泰勒展开式之间的关系

引言：在数学分析中，我们能遇到以下四个与泰勒有关的数学名词：

上述四个名词的排列顺序正是一般的数学分析课本中这四个名词的出现顺序，在初学数学分析时，这些名词背后所蕴含的数学含义往往会被我们搞乱，导致最后合上课本时，对这四个名词都有印象，但是却理不清它们之间的区别和联系，这也是笔者在第一次学习数学分析时所遇到的问题，对这几个似是而非的数学概念，我们必须要清晰准确的掌握，因此就让我们一起来梳理并挖掘这几个数学名词背后的那些“事”.

如果函数 f(x) 在点 x_{0} 处可导，即 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0}) ，也即 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})=0 ，整理得 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})(x-x_{0})}{x-x_{0}}}=0 ，所以 f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})(x-x_{0})=o(x-x_{0})(x\rightarrow x_{0}) ，移项整理得 f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})(x\rightarrow x_{0}) ，即在点 x_{0} 附近，我们可以用一次多项式函数 f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}) 来逼近函数 f(x) ，其误差为 (x-x_{0}) 的高阶无穷小量，有些时候，这样的逼近方式是粗糙的，即逼近的误差较大，于是我们很自然的想到能否让更高次的 n 次多项式去逼近函数 f(x) ，使得误差为 o((x-x_{0})^{n}) .

对于多项式函数 f_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}((x-x_{0})^{2})+...+a_{n}((x-x_{0})^{n}) ，逐次求它在 x_{0} 处的各阶导数，可知 f_{n}(x_{0})=a_{0} ， f_{n}'(x_{0})=a_{1} ， f_{n}''(x_{0})=2!a_{2} ，... ， f_{n}^{(n)}(x_{0})=n!a_{n} ，即 a_{0}=f_{n}(x_{0}) ， a_{1}=\frac{f_{n}'(x_{0})}{1!} ， a_{2}=\frac{f_{n}''(x_{0})}{2!} ， a_{n}=\frac{f_{n}^{(n)}(x_{0})}{n!} 。即多项式函数 f_{n}(x) 的各项系数被它在点 x_{0} 处的各阶导数唯一确定，这启发了我们对于一般的函数 f(x) ，如果 f(x) 在点 x_{0} 处存在直到 n 阶的导数，那么由这些导数可确定一个 n 次的多项式 T_{n}(x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} 这个多项式称为函数 f(x) 在点 x_{0} 处的泰勒多项式， T_{n}(x) 的各项系数 \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(k=1,2,...,n) 称为泰勒系数。易知，函数 f(x) 与其泰勒多项式 T_{n}(x) 在点 x_{0} 处有相同的函数值和相同的直至 n 阶的导数值，即 f^{(k)}(x_{0})=T_{n}^{(k)}(x_{0}),k=0,1,2,...,n. 回到上面我们的猜想，能否证明 f(x)=T_{n}(x)+o((x-x_{0})^{n}) ，如果该式成立，那么用泰勒多项式 T_{n}(x) 去逼近函数 f(x) 时，其误差就是我们希望得到的，即误差为比 (x-x_{0})^{n} 高阶的无穷小量.

定理：若函数 f(x) 在点 x_{0} 处存在直至 n 阶的导数，则有 f(x)=T_{n}(x)+ o((x-x_{0})^{n}) ，即 f(x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} +...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n}) .

证：设 R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x) ， Q_{n}(x)=(x-x_{0})^{n} ，即证 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{R_{n}(x)}{Q_{n}(x)}}=0 由于 f^{(k)}(x_{0})=T_{n}^{(k)}(x_{0}),k=0,1,2,...,n. 故 R_{n}(x_{0})=R'_{n}(x_{0})=...= R^{(n)}_{n}(x_{0})=0 ，且 Q_{n}(x_{0})=Q'_{n}(x_{0})=...=Q^{(n-1)}_{n}(x_{0})=0， Q^{(n)}_{n}(x_{0})=n! 。因为 f^{(n)}(x_{0}) 存在，所以在点 x_{0} 的某邻域 U(x_{0}) 上 f(x) 存在 n-1 阶导函数 f^{(n-1)}(x) 。于是，当 x\in U^{o}(x_{0}) 且 x\rightarrow x_{0} 时，允许接连使用洛必达法则 n-1 次，得到 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{R_{n}(x)}{Q_{n}(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{R'_{n}(x)}{Q'_{n}(x)}}=...=\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{R^{(n-1)}_{n}(x)}{Q^{(n-1)}_{n}(x)}} =\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})-f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})}{n(n-1)\cdot \cdot \cdot2(x-x_{0})}} =\frac{1}{n!}\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\left[ \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}}-f^{(n)}(x_{0}) \right]}=0

这个定理所证明的式子称为函数 f(x) 在 x_{0} 处的泰勒公式，由于其对应的余项 R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) 称之为皮亚诺余项，故该式也称之为带有皮亚诺余项的泰勒公式.

注：(带有皮亚诺余项的)泰勒公式是一个定性的表达式，虽然在 f(x) 的整个定义域上该表达式都成立，但是只有在点 x_{0} 附近，该表达式所带的余项才有意义，因此该表达式也有很强的局限性.

为了克服上面泰勒公式只能定性的分析函数的缺点，我们需要用更为精确的定量表达式来刻画函数 f(x) ，定量的表达式能更准确的刻画出多项式函数逼近函数 f(x) 时的误差范围.

定理(泰勒定理)：若函数 f(x) 在 [a,b] 上存在直至 n 阶的连续导数，在 (a,b) 上存在 (n+1) 阶导数，则对任意给定的 x,x_{0}\in[a,b] ，至少存在一个点 \xi\in(a,b) ，使得 f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} .

[分析]从定理的条件我们可以看出，函数 f(x) 与 (x-x_{0})^{n+1} 在 [a,b] 上可以“随意”的使用柯西中值定理，因此证明思路就是利用科西中值定理.

证：令 F(x)=f(x)-[f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}] ， G(x)=(x-x_{0})^{(n+1)} ， x,x_{0}\in[a,b] ，即证 \frac{F(x)}{G(x)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},\xi\in(a,b)

显然， F(x),G(x) 在 [a,b] 上都存在直至 n阶的连续导数，在 (a,b) 上都存在 (n+1) 阶导数，且 F(x_{0})=F'(x_{0})=...=F^{(n)}(x_{0})=0 ， G(x_{0})=G'(x_{0})=...= G^{(n)}(x_{0})=0 ，且 G^{(n+1)}(x)=(n+1)! ，所以

\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F(x)-F(x_{0})}{G(x)-G(x_{0})}=\frac{F'(\xi_{1})}{G'(\xi_{1})}=\frac{F'(\xi_{1})-F'(x_{0})}{G'(\xi_{1})-G'(x_{0})}=\frac{F''(\xi_{2})}{G''(\xi_{2})}=...= \frac{F^{(n)}(\xi_{n})}{G^{(n)}(\xi_{n})}=\frac{F^{(n)}(\xi_{n})-F^{(n)}(x_{0})}{G^{(n)}(\xi_{n})-G^{(n)}(x_{0})}=\frac{F^{(n+1)}(\xi)}{G^{(n+1)}(\xi)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},\xi\in(a,b) ，证毕.

注：泰勒定理的条件还有另外一种叙述方式，即若f(x) 在 x_{0} 的某一邻域 U(x_{0}) 上有 (n+1) 阶导数，则对于该邻域内的任意一点 x ，有 f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1},\xi\in(a,b) ，我个人感觉这种描述方式更便于记忆.

由于余项 R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} 称之为拉格朗日余项，故泰勒定理实际上也可以称之为带有拉格朗日余项的泰勒公式.

另外，从泰勒定理的条件可以看出，泰勒定理的使用条件要比泰勒公式高的多(泰勒公式只要求在某一点 x_{0} 处具有 n 阶导数)，因此得到的结论也就更强一些，利用泰勒定理可以用多项式函数对函数 f(x) 进行定量的逼近.

泰勒级数相比于上面两个数学概念，在数学分析中出现的较晚，因为它需要学习数项级数、函数项级数及幂级数等知识作为基础，由于数项级数及函数项级数的知识不是本篇文章的重点，需要的读者可参阅任一本数学分析的教材进行补充，此处我们只给出与泰勒级数最密切的幂级数的相关知识.

幂级数是一类形式最简单的函数项级数，它是由函数列 \left\{ a_{n}(x-x_{0})^{n} \right\} 所生成的函数项级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}(x-x_{0})^{n}}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+ ... ，为了形式上更为简洁，我们只需要讨论 x_{0}=0 时的幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}+... ，对应的只需要把 x 换成 x-x_{0} 就得到了上面的一般情形，因此我们下面所提及的幂级数均是指幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} .

讨论一个函数项级数，我们最先需要知道的就是这个函数项级数的收敛域，对于幂级数，它的收敛域很有特点，请看下面的定理：

阿贝尔定理：若幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} 在 x=\bar{x}\ne0 处收敛，则对满足不等式 \left| x \right|\left| x \right|>\left| \bar{x} \right| 的任意 x ，幂级数都发散.

证：设级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\bar{x}^{n}} 收敛，由级数收敛的必要条件知，数列 \left\{ a_{n}\bar{x}^{n} \right\} 收敛于零且有界，从而存在正数 M ，使得 \left| a_{n}\bar{x}^{n} \right|0">x'>0 处收敛，则对于 \bar{x}\in(0,x') ，由阿贝尔定理知 \sum_{n=1}^{\infty}{\left| na_{n}\bar{x}^{n-1} \right|} 收敛，则 \left| a_{n}\bar{x}^{n}\right|=\left| na_{n}\bar{x}^{n-1} \right|\left| \frac{\bar{x}}{n} \right|=\left| na_{n}\bar{x}^{n-1} \right|\frac{\bar{x}}{n} 由于已知 \sum_{n=1}^{\infty}{\left| na_{n}\bar{x}^{n-1} \right|} 收敛， \left\{ \frac{\bar{x}}{n} \right\} 单调有界，故由阿贝尔判别法知 \sum_{n=1}^{\infty}{\left| a_{n}\bar{x}^{n} \right|} 收敛，这与假设矛盾，故幂级数 (2) 也仅在 x=0 处收敛，命题成立.

下面设幂级数 (1) 的收敛区间为 (-R,R) ， R\ne0 ，设 x_{0} 为 (-R,R) 内任一不为零的点，由阿贝尔定理的证明过程知，存在正数 M 与 r(0R) 收敛，则有一数 \bar{x} ，使得 \left| x_{0} \right|>\left| \bar{x} \right|>R ，由阿贝尔定理知，幂级数 (2) 在 x=\bar{x} 处绝对收敛，但是当 n\geq\left| \bar{x} \right| 时，有 \left| na_{n}\bar{x}^{n-1} \right|=\frac{n}{\left| \bar{x} \right|}\left| a_{n}\bar{x}^{n} \right|\geq \left| a_{n}\bar{x}^{n} \right| ，由比较判别法知，幂级数 (1) 在 x=\bar{x} 处绝对收敛，这与幂级数 (1) 的收敛区间为 (-R,R) 矛盾，故幂级数 (2) 对一切满足不等式 \left| x \right|>R 的 x 都不收敛，综上，幂级数 (1) 与幂级数 (2) 具有相同的收敛区间.

关于幂级数的逐项求导与逐项积分，有下述定理：

定理：设幂级数 (1) 的收敛区间为 (-R,R) ，其上的和函数为 f(x) ，若 x 为 (-R,R) 上任意一点，则

(i) f(x) 在点 x 处可导，且 f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_{n}x^{n-1}} ；

(ii) f(x) 在 0 与 x 之间的这个区间上可积，且 \int_{0}^{x}f(t)dt=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a_{n}}{n+1}x^{n+1}} .

证：由于幂级数 (1) 、 (2) 、 ( 3) 具有相同的收敛半径 R ，且幂级数 (1) 的每一项都具有连续的导数，且这三个幂级数均在收敛区间 (-R,R) 上内闭一致收敛，故满足前面函数项级数的逐项求导与逐项积分定理，因此有如上的定理成立.

由上面的定理可得到如下的推论：

推论1：记函数 f(x) 为幂级数 (1) 在收敛区间 (-R,R) 上的和函数，则在 (-R,R) ，则在 (-R,R) 上 f(x) 具有任意阶导数，且可逐项求导任何次，即

f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...+na_{n}x^{n-1}+... ，

f''(x)=2a_{2}+3\cdot2a_{3}x+...+n(n-1)a_{n}x^{n-2}+... ，

......

f^{(n)}(x)=n!a_{n}+(n+1)n(n-1)...2a_{n+1}x+... ，

......

推论2：记函数f(x) 为幂级数 (1) 在收敛区间 (-R,R) 上的和函数，则幂级数 (1) 的系数由 f(x) 在 x=0 处的各阶导数决定： a_{0}=f(0) ， a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(n=1,2,...) .

幂级数的相等：若幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} 与幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}x^{n}} 在x=0 的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.

由于幂级数的各项系数均是由和函数及和函数的各阶导数在 x=0 处的值确定的，因此由幂级数相等的定义可知，两个幂级数在某邻域内相等，当且仅当这两个幂级数的各项系数相等.

幂级数的四则运算：设幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} 与幂级数 \sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}x^{n}}的收敛半径分别为 R_{a} 和 R_{b} 则有：

(i) \lambda\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\lambda a_{n}x^{n}},\left| x \right|