学了那么多力学，怎么还是不会做有限元分析？

作者：尚晓江，工学博士，仿真秀专栏作者

前段时间有朋友问，为什么学了那么多力学课程却不会做有限元分析？那么力学和有限元分析到底有着什么样的联系？力学在有限元分析中到底能起到什么样的作用？关于这个问题，我想从下面三个角度来做些解释。

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第一、力学分析和有限元分析的求解途径不同

以材料力学、弹性理论为代表的理论分析和以有限元方法为代表的数值计算其实都是研究工程结构响应的方法和手段，但是两者在分析结构响应时采用的是两条完全不同的路子。力学是采用连续体的解析途径，而有限元分析则是采用离散的数值分析的途径。

在力学理论方面，材料力学研究基本构件的受力问题，结构力学研究杆件系统及板壳结构的受力问题，弹性力学则是从连续性、均匀性、各向同性、线弹性等基本假定出发，研究连续弹性体的一般受力问题。

与材料力学相比，弹性理论可以给出更为精确的解答，并可用来校核材料力学的结果。例如，梁的弯曲应力沿横截面实际上为非线性分布，对于跨高比较小的深梁尤为明显，由弹性力学解答可以估计材料力学计算结果的误差。

又比如，材料力学对带孔杆件拉伸的强度计算时，认为沿孔径的净截面上拉应力是均匀分布的，而弹性理论给出的解答则说明在孔边附近应力不仅不是均匀分布，而且还有明显的应力集中现象。

这个意义上讲，学好了弹性力学就是打好了固体力学的基础。在弹性理论基础上发展起来的复合材料力学、塑性力学、断裂力学等固体力学分支，无一例外都是采用解析的求解途径。

在振动方面，结构动力学和弹性动力学等也都是基于解析的途径。但是这些解析的方法存在显著的局限性，对于大量新的结构形式和材料不断涌现的现实情况，往往无法给出问题的控制偏微分方程的解答。

另一方面，有限元方法则是通过离散化的途径将连续的求解域分割为一系列单元的组合体，这些单元通过有限数量的节点与其他相邻的单元连接在一起。对于广泛应用的位移元（以位移作为基本未知量的单元），各个单元内部可按统一的模式进行位移插值，基于变分原理建立单元节点力和节点位移之间的关系，即单元刚度方程。

基于相邻单元在公共节点上的位移协调条件和节点的平衡条件，建立离散结构体的平衡方程，即总体刚度方程。引入边界条件，消除总刚方程的奇异性，求得节点位移。基于节点位移，得到单元的应变，再基于本构关系得到单元的应力。对于采用等参变换单元，由于采用数值积分技术，因此计算得到的原始应力和应变其实都是单元的数值积分点上的值。

由此可见，有限元方法的整个求解过程，完全没有用到求解数学物理方程中的那些经典的解析方法。而对于那些无法用解析方法求解的问题，只要控制方程和边界条件明确，都可以通过有限元方法基于相同的格式和步骤进行求解。

记得十几年前，我在课题中遇到较为复杂的球对称问题，难于求解相关的方程，商用程序中又没有球对称单元，因此基于对微分方程的加权余量法导出有限元列式并通过Fortran程序进行了计算。

第二、有限元分析在当前主要借助于各种商用程序来实现

目前，除了少数单位拥有内部的自研程序分析一些特定的问题之外，工程领域的大量问题的结构力学分析都是通过成熟的商用软件来实现的。

在《工程结构有限元分析，到底难在哪里》一文中，我曾提出了有限元分析的“二次映射”的概念，即在目前主要通过商用程序完成结构分析的大背景下，软件用户需要首先把待分析的实际工程问题映射为一个性质和边界条件都明确化的力学问题，再将这个力学问题映射为商用软件可以求解的数学问题或计算模型，这两次映射其实是有限元分析真正关键的地方。

把实际问题抽象成为力学问题的过程中，无论是划定求解域还是确定边界条件都需要工程经验，而力学课程中往往只讲具体的方程和问题怎么求解，弹性理论的应力解法和位移解法对于从工程问题中抽象出分析模型显然帮不上什么忙。

另一方面，在明确了一个问题的性质、求解范围和边界后，能否正确求解，对商用软件的认知和熟悉程度又起到很重要的作用。如果对计算软件编制的原理不熟悉，可能导致无法选用正确的求解模块或分析选项，造成错误解答。如果对于软件建模工具的使用不熟练，可能导致模型中各部件在拓扑上不连续等错误。因此，分析人员需要对软件的算法和模型处理方法都有一定的认知。

第三、力学对有限元分析有着重要的指导作用

既然分析主要靠软件，那么力学对于有限元分析重要吗？答案是肯定的。弹性力学的很多原理，如：基本方程、解的唯一性定理、圣维南原理等对有限元分析及计算结果的解释等方面都有指导作用。

可以说，力学概念可以为有限元分析的过程提供理论指导，并为其计算结果的解释提供理论依据。力学概念清楚的软件用户，能够通过概念来论证计算模型的有效性，也可以通过力学概念来避免不必要的计算工作量。

此外，有限元分析不是目的，设计人员往往需要根据计算结果对设计进行调整和优化，这种情况下力学概念也同样起到指导作用。可以说，没有力学概念，有限元分析没办法做到有理有据，会陷入到既不知道为什么这么做，也不知道计算结果是对还是不对的尴尬境地。

下面列举两例，说明力学在工程结构有限元分析中所起到的指导作用。

一个是关于静力分析和动力分析的区别问题。如果熟悉结构动力学，那么可以首先计算结构的固有频率，并与荷载的性质进行比较。下图是一类典型的加载过程，即荷载随时间线性递增，到最大值后保持不变。那么对这样的问题，到底是做静力分析还是需要做动力分析呢？

下面给出一系列不同荷载上升时间的SDOF系统的动位移幅值的变化曲线。由结构动力学理论计算结果可知，当加载时间（上升时间）超过3倍结构固有周期时，自振引起的动力效应将显著降低，可以视为静力问题。

计算结果还表明，加载上升时间为结构固有周期的整数倍时，荷载水平段也不会引起系统的振动。这个理论为有限元分析中采用静力计算还是动力学计算提供了理论依据。

又比如下图平面应力问题中A、B两点的应力状态。对于凸角的顶点A，由于此处没有表面分布载荷，由应力边界条件表达式可导出A点处于零应力状态。而凹角的顶点B，其附近所取的微元体各个面均不是边界面，其上的应力分量都是未知，由理论分析可知此处的应力趋向于无穷大。

这个问题的理论分析实际上为这类型问题的有限元模型简化提供了理论指导，结合圣维南原理又可以对计算结果的应力奇异点等问题提供分析的依据。

综上所述，力学和有限元分析采用的是完全不同的求解途径，有限元分析可以计算的问题显然比弹性力学更为复杂和广泛。尽管现阶段有限元分析基本上都是借助于商用软件，但是力学理论和概念还是可以为有限元建模和计算提供理论指导和分析依据。所以，学习了力学，有可能不会有限元分析，但是如果没有力学概念，同样也做不好有限元分析。

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