【高数笔记】不定积分（二）：三角换元（第二类换元法）

第二类换元法的主要应用是利用带有平方的三角恒等式来去除被积函数中的根号。

要去除根号，无非就是两种方法：一是对根式平方；二是当根号下的式子是完全平方式时，把它开出来。显然，第一种方法无法做到在积分式子中等价变形，所以我们考虑第二种方法，构造出完全平方式[1]来去除根号。

注意到三角恒等式中，平方是经常出现的，比如：

\sin^2x+\cos^2x=1\\ \sec^2x=1+\tan^2x

如果我们让等号一侧只留下一个三角函数的平方，那么我们可以得到下面四个可以用于去根号的式子：

\sin^2x=1-\cos^2x\xlongequal{t=\cos x}1-t^2\tag{1}

\cos^2x=1-\sin^2x\xlongequal{t=\sin x}=1-t^2\tag{2}

\tan^2x=\sec^2x-1\xlongequal{t=\sec x}=t^2-1\tag 3

\sec^2x=\tan^2x+1\xlongequal{t=\tan x}t^2+1\tag 4

其中 t 可以是任意式子。这样我们就可以把等式右侧的式子代换成等式左侧的完全平方式了，然后就可以顺利去掉根号了。

但是根号下面一般不会出现这么明显的可以直接用上述公式换元的式子。不过这也不难办，下面用例题来说明一下。

例 求 \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}}dx .

解：这道题目中的根号下面与（3）式很像，但不完全一样，因为这里的常数项是 a^2 ，不是 1 .

不过这好办啊，提一个 a^2 出来不就行了吗。

于是被积表达式变成了 \frac{1}{a\sqrt{(\frac{x}{a})^2-1}} ，这样根号下就和（3）式右侧所需要的形式一样了。

为了方便，我们令 \frac{x}{a}=\sec t ，即令 x=a\sec t ，t\in(0,\frac{\pi}{2}) [2]，这时候被积表达式就成了 \frac{1}{a\sqrt{\sec^2t-1}} ，再利用一次（3）式，原式就变成了 \int{\frac{1}{a\tan x}}d(a\sec t)=a\int{\frac{1}{a\tan x}\cdot \tan t\sec t}dt=\int{\sec t}dt .

容易求得，结果为 \ln(\sec t+\tan t)+C 。

但是还没完，结果中还带着中间变量 t ，我们要把它换成关于 x 的式子。

前面我们设了 \sec t = \frac{x}{a} ，即 \cos t=\frac{a}{x} ，做出图形，得：

从图中容易得出， \tan t =\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} ，结合之前设的 \sec t = \frac{x}{a} ，容易得到： \begin{align} 原式&=\ln(\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a})+C\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C-\ln a\\ &=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C_1 \end{align} .

至此，这道例题就算是做完了。

我们来总结一下步骤：

①构造：提取根号下的常数 a^2 ，构造 a\sqrt{(\frac{x}{a})^2-1}

②换元：令 \frac{x}{a}=\sec x ，得到 a\sqrt{\sec^2t-1} ，以及 x=a\sec t ，注意 t 的取值范围

③代换：利用 \tan x=\sec^2x-1 ，将②中的式子替换为 a\tan x ，同时将 dx 换为 d(a\sec x)=a\tan t\sec t\space dt .

④整理、计算

⑤再代换：把含有 t 的式子通过直角三角形中的关系转换为关于 x 的式子

⑥整理，得出结果

当然，上述步骤是针对利用了（3）式的这道例题，不过，对于其它的三个式子，步骤是一样的，只是所用的三角函数不一样而已。

稍加整理就可以得出常用的三角换元公式：

1、出现 \sqrt{a^2-x^2} 时，选择（1）或（2）式，令 x=a\cos t ;

2、出现 \sqrt{x^2-a^2} 时，选择（3）式，令 x=a\sec t ;

3、出现 \sqrt{x^2+a^2} 时，选择（4）式，令 x=a\tan t .

如果大家平时做题的时候总是记混上面的三种换元公式，可以把（1）~（4）式写在草稿纸上便于观察。

第一类换元法：