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线性代数的学习和整理13: 定义域，值域，到达域 和单射，满射，双射，反函数，逆矩阵
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目录 1 函数与 向量/矩阵 2 初等数学的函数 2.1 函数 2.2 函数的定义：定义域 →映射→ 值域 3 高等数学里的函数：定义域和陪域/到达域（非值域）的映射关系 3.1 函数 3.2 单射，满射，双射等都是针对定义域 和 陪域的 3.3 易错地方：值域较小且是被决定的 3.4 单射，满射，双射 4 函数和反函数 → 矩阵和逆矩阵 4.1 函数和反函数 4.2 矩阵和逆矩阵 （待完善） 1 函数与 向量/矩阵下面两者形式类似，本质也类似 函数的： ax=y ，常规函数里，a,x,y 一般都是单个数矩阵： AX=Y ， 矩阵乘法，这里 A,x,y 一般都是向量/矩阵线性代数，就是处理 数组和矩阵（数组的数组）的学科 2 初等数学的函数 2.1 函数形如 ax=y=f(x)的就是函数 自变量 input：x ，原像因变量 output：y=f(x) ，像函数/变化规则/映射法则 function ：f定义域domain： 自变量x的取值范围就是定义域，集合x值域 range： 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合？ 2.2 函数的定义：定义域 →映射→ 值域从映射的角度来看，定义域，值域 函数定义域里的每个值x，必须有且只有一个值y与之对应 每个x不能是0个y对应每个x都必须对应1个y每个x不能对应多个y 函数值域里的每个值y，必须有一个定义域的x与之对应 每个y都有1个x对应有的y可能都多个x对应到它如果从图形上来说 函数f(x) 是从定义域 → 值域下面定义域里打叉×的点都是错的下面值域里打叉×的点都是错的
形如 ax=y=f(x)的就是函数 自变量 input：x ，原像因变量 output：y=f(x) ，像函数/变化规则/映射法则 function ：f定义域domain： 自变量x的取值范围就是定义域，集合x值域 range： 因变量f(x)=y 的取值范围就是值域, 所有x的像的集合？陪域/ 到达域codomain ：因变量f(x)=y 可能的范围，集合y 3.2 单射，满射，双射等都是针对定义域 和 陪域的 理清概念这个只针对 定义域 → 陪域/到达域不针对 定义域 → 值域就这么简单粗暴前面的函数的映射定义，可能算初等数学的把这个加入了 陪域/到达域的映射定义，可能算高等函数的把 3.3 易错地方：值域较小且是被决定的 定义域，值域取值范围都选 R 或者 R+而值域，一般不存在选范围的问题，因为是同感 y=f(x) 一一映射决定的，一般肯定都是R的一个较小的子集！！比如提前一个例题 为什么y=x^2 不是满射，因为都是针对 定义域 R→ 陪域/到达域R，而值域是R+，因此不是满射 3.4 单射，满射，双射 非函数： 定义域里有的x对应了多个y，这种情况还是非函数单射： 定义域里的每个x 都有唯一的y对应。（但是有的y可能没有x对应）非单射： 定义域里的每个x 都有y对应，但是可能对应相同的y满射： 到达域里（非值域）的每个y 都有x对应 （但是有的y可能对应的2个x）非满射： 到达域里（非值域）不是每个y 都有x对应，有些y值没有x映射特例双射： 定义域中的x 和值域中y 分别一一对应双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵(见下面) 单射非满射： 普通单射，只单射，不满射单射&满射： 双射非单射&满射：非单射&非满射：
双射的意义，只有满秩的双射矩阵，一定可逆矩阵(见下面) 普通函数，直接让y 映射到x，很可能就不是函数下面图可以看到，直接让y 映射到x，很可能1个y会映射多个x，这样就不是函数
如果一个函数 y=f(x)=ax 反过来 x=f(y) 如果x和y调换，如果不是满射，反过来就不是单射，函数就不存在反函数所以 函数必须是 双射，这个函数才会有反函数。双射的函数，一定有反函数，见下图
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