湖南省长沙市雅礼中学2023

雅礼中学2023年下学期高一第一次月考

数学

（时量：120分钟　　分值：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“，”的否定是（　　）

A．，  B．，

C．，  D．，

2．设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　）

A．  B． C．8 D．16

3．若函数的定义域为，则的定义域是（　　）

A． B． C． D．

4．已知，，为实数，判断下列命题的真假（　　）

A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件

5．用表示非空集合中的元素个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

6．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，那么不等式成立的充分不必要条件是（　　）

A． B． C． D．

7．已知，，，则的最小值为（　　）

A．  B．0 C．1 D．

8．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，．已知，，，则（　　）

A．的值域为  B．

C． D．以上选项都不对

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．若关于的不等式的解集是，则下列选项正确的是（　　）

A．且

B．

C．

D．不等式的解集是

10．命题，为假命题，则实数的取值可以是（　　）

A．  B．0 C．1 D．2

11．设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（　　）

A．  B．

C．  D．

12．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（　　）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，那么的解析式为______．

14．设集合，，若，则实数的取值范围为______．

15．已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围______．

16．若，，且，则的最小值为______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）

17．已知全集，集合，．

（1）当时，求；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

18．已知，，均为正实数，且．

（1）求证：；（2）求的最小值．

19．已知，，且，求：

（1）的最小值；（2）的最小值．

20．某市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为．

（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．

21．已知二次函数（，为实数）

（1）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围．

22．已知函数，．

（1）求函数的定义域和值域；

（2）已知为非零实数，记函数的最大值为，求．

雅礼中学2023年下学期高一第一次月考

数学参考答案

（时量：120分钟　　分值：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．答案：A

2．答案：C

解析：，

采用

①

②

③

④

∴，∴

3．答案：B

解析：当时

∴定义域为

4．答案：D

解析：：反例：，

：反例：，

：反例：，

：若

5．答案：B

解析：由题

∴或3

又

2°或，2°若

则，则

∴，∴

∴，∴

6．答案：B

解析：因式分解．

∴

∴或2

∴

而

∴选B

7．答案：A

解析：齐次代

原式

取导：

8．答案：B

解析：A：当或1成为内的无理数时

当为内的有理数时，此时必有有理数

而内有很多无理数，故A错

B：1°若，时

，而，符合

2°若，时

令，，则，

，而有可能能约分

3°若，

则，，符合，故B对

C：若，

则，

此时为无理数，故C错

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．答案：A，B，D

解析：草图

故

∴，A正确

而B正确

而C错

由

∴

D正确

10．答案：A，B，C

解析：对．为真命题

分离参数：

∴

故可选A，B，C

11．答案：A，C

解析：：，故A对

：，故B错

：，

而C对

：

故D错

12．答案：A，B，C

解析：令

由于只有两个子集，故为单元素集

∴

A对

，取导可以B对

由韦达定理：C错

由韦达定理：

∴D正确

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．解析：令

∴

14．解析：由

∴

①若

∴

∴

综上：

②若

则

15．解析：由题

当时，

①对时，

∴

∴

②对时，

∴

∴

∴

16．解析：因式分解

双换元：令且

∴原式

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）

17．解析：（1）易知

当时，

∴

（2）由题

∵

∴

∴

∴

18．解析：（1）证明：齐次化

取导：

（2）齐次化

取导：

19．解析：由

∴

（1）

∴

∴

取导：

即，

（2）

取导：

20．解析：（1）当时，

当时，可设

当时，

得，故

综上：

当时，人

（2）1°若时

此时：

2°若时

此时：

综上，当时，元

21．解析：（1）将，代入得

∴对恒成立

分参：

当时，显然

∴

令

由均值取得：，特

∴

（2）由题

变更主元：令为主元，视为参数

对恒成立

故只需

22．解析：（1）定义域：

当时，

∴

∴

（2）

令

则

∴原式，

1°若

此时轴：

此时

2°若

此时轴：

①

②

③

综上：