5.2.4

两个 n 比特的数相加，除了得到 n 比特的相加结果之外，加法器还可以输出 4 个标志的信息OF、SF、ZF、CF这四个标志位。

首先来看OF这个标志位的含义，以及如何确定OF的值。

OF它的英文全称叫 Overflow Flag， Overflow就是溢出的意思。所以这个标志就是用于表示运算是否发生了溢出。

如果溢出，OF 就是1；如果没有发生溢出，OF就是0。

需要注意的是，OF这个标志位仅在有符号数的加减运算当中有意义。

我们上节课说过，无论是有符号数的加减运算，还是无符号数的加减运算，在底层都是用同一套电路来实现的，所以无论是有符号数的加减，还是无符号数的加减，最终都会产生OF、SF、ZF、CF这 4 个标志位。

但是OF这个标志位只在有符号数的加减运算当中是有含义的。也就是说，如果现在进行的是无符号数的加减运算，即便OF这个出标志等于1，那也并不能说明无符号数发生了溢出。

所以，无符号数的加减运算是否产生了溢出，我们不看OF标志位，这个OF标志位的信息，只在有符号数加减运算的时候才有含义。

搞清楚它的含义之后，接下来我们看OF标志位在硬件层面是如何确定的。

OF的确定规则是，通过最高位产生的进位与次高位产生的进位进行异或来确定。

我们回到上一节提到的例子。

首先来看加法运算。

x 加 y ，就是1000 加上 0111 。进行加法的时候， Sub 这一位，也就是 Cin 这一位是 0 ，所以最后加上一个0。

对应的位相加， 0加1再加 0 等于 1，向更高位的进位是0。

接下来对应的这一位相加，0加1再加0最后等于1，向更高位产生的进位是0。

再往后的三位相加， 0 加1再加0等于1，向更高位产生的进位是0。

接下来最高的这一位，1加0再加刚才的进位 0 等于 1，最高位往更高位的进位应该是0。

OF的确定方式是，最高位产生的进位和次高位产生的进位进行异或。

在我们刚才的运算当中，最高位产生的进位是0，而次高位产生的进位也是0，所以 OF就等于0异或上 0，0 和0异或还是等于 0 。

所以在补码的加法运算当中， OF等于0，也就意味着没有发生溢出，这个运算结果是正确的。

接下来再来看减法运算。

x 减y，这个减法在背后做的事情就是x （1000） 加上y全部按位取反1000 ，末位再加上 Sub 减法信号信号 1 。

同样得，一位一位往上加。

0加0再加1，这一位等于1，往更高位的进位是 0。

0 加0再加0，这一位等于0，往更高位的进位是0；然后0加0再加0，这位的本位和是0，往更高位的进位也是0。最后一位 1加1 再加0，本位和就应该等于0，往更高位的进位就应该等于1。如下：

在减法运算当中， OF等于最高位产生的进位（1）和次高位产生的进位（0)进行异或， 1 和0异或等于1，这就说明产生了溢出。 也就是运算结果是错误的，说明的是这样的信息。

通过这个例子，相信大家已经能够掌握 OF这一位的运算方式。什么叫最高位产生的进位，什么叫次高位产生的进位，要知道分别指的是什么东西。

最后再次强调， OF这个标志位对于无符号数的加减法是没有意义的，并不能说明无符号数的加减法发生了溢出，只有在有符号数的加减运算当中，它可以说明是否发生了溢出。

通过上一节课我们强调的这两个例子，大家是能够感受出来的。

同样是刚才的 1000 加上0111。如果我们按照无符号数来对运算进行解释，在 x 加 y 的运算当中，同样的OF等于0，底层的计算逻辑是一样的。用最高位产生的进位和次高位产生的进位进行异或来确定OF的值。

x 加y，OF等于0；x 减y，OF等于1 ，底层的处理逻辑一样。

由于此时是无符号数的加减运算，因此在 x 减 y 的时候，OF等于 1 并不能说明它产生了溢出，这个结果依然是正确的。

所以结合上节课的两个例子，大家应该能够感受到 OF这一位应该怎么计算，以及需要注意哪些东西。

这是第一个标志位 OF的生成。

接下来第二个标志位SF，符号标志 Sign Flag。

如果运算结果是负的，那么置为1。如果运算结果是正的，那么置为0。

SF 的确定很简单，只需要取最高位的本位和就可以。

回到刚才我们说的这个例子，刚才我们在计算 x 减 y 的时候，会把这些对应的比特位依次相加，最高的这一位是 1 加 1再加0。

那么在这一位的本位和就是0，也就是最后输出的这 n 个比特的最高位是多少， SF 就是多少。

所以你像刚才 x 减 y 的这个例子当中， SF 的值就是0，也就意味着 x 减 y 得到的结果是一个正数。

而 x 加 y 得到的值最高的这一位是1，所以SF这个标志位应该是等于1，表示这个运算得到的结果是一个负值。

所以 SF 标志位的确定很简单，只需要取运算结果的最高位就可以了。

需要注意的是， SF 同样只对有符号数的加减运算有意义，对于无符号数的加减运算是没有意义的。

因为无符号数没有正负这一说，所以这个标志位它表示的正负性对于无符号数而言就没有意义。

接下来第三个标志位ZF。

ZF的确定也很简单，如果运算的结果，这 n 个比特全部都是0，那么ZF就是1。

它的含义就是运算结果是否为0。

ZF这个标志位，无论对有符号数还是对无符号数，都是有意义的。

最后一个标志CF。

这个标志叫做进位借位。

发生进位借位的时候， CF 等于1，否则置为0。

❓ 这个标志位怎么确定？

CF可以用最高位产生的进位和Sub，也就是加法/减法这个控制信号进行一个异或，当我们进行加法的时候， Sub 等于0；进行减法的时候， SUB 等于1。

需要强调的是，CF它只对无符号数的加减法有意义，对于有符号数的加减法是没有意义的。

回到无符号数加减法的例子。

如何确定 CF 标志位?CF是用最高位产生的进位，和 Sub 进行一个异或得到的。

最高位产生的进位，其实就是我们上节课说到的Cout。然后 和Sub 信号进行异或，其实就是和 Cin进行一个异或。

当然你想把它写成 Sub 也可以，因为 Sub 和 Cin 本来就是一个东西。

来看一下第二个例子（图中例2）。

加法

x 加 y 背后要做的事情就是 0011 加上0100。由于此时进行的是加法，所以最低位要加0。运算的结果应该是0111，最高位产生的进位应该等于0。

而此时进行的是加法，所以Sub这个信号等于0， 0 和0异或等于0。

这就说明在这个无符号数加法当中，没有产生往更高位的进位，也就意味着没有发生溢出。

所以这个结果是正确的。

减法

再来看减法运算背后做的事情。

0011 加上1011，末尾还要加1，因为Sub 等于 1 。

在这个减法运算当中， CF 应该等于最高位产生的进位0 ，然后和 Sub 信号进行异或。

此时是减法，所以 Sub 等于1，异或的结果就等于1。

这就说明在这个减法运算当中产生了借位，也就是被减数不够减，还需要往更高位借一位，这也意味着被减数要比减数更小，这才导致了减法运算发生了借位。

这也就意味着最终运算的结果肯定是错误的，发生了溢出。

这就是最后一个标志位。用最高位产生的进位和Sub，也就是加减的控制信号进行异或来确定 CF 到底是多少。

当 CF 等于 1 的时候，说明无符号数的加减运算发生了进位或者借位，也就是发生了溢出。

无符号数的加减运算如何判断是否产生了溢出，你得看 CF 这一位。 而有符号数的加减运算是否发生了溢出，你得看OF这一位。

这也就解释了我们上一节课提到的这两个例子留下来的疑问，为什么同样的两个二进制进行相加，把它看作有符号数，就发生了溢出，但是把它看作无符号数，又没有发生溢出，大家可以自己验证一下。

在第一个例子的减法运算当中， OF这一位等于1，但是CF那一位等于0。所以如果是有符号数的减法运算，就会产生溢出；但如果我们把它看作无符号数的减法运算，CF等于0，就说明没有发生溢出。

这就是在加减运算当中确定 4 个标志位的方法，以及 4 个标志位的含义。