三角形公式大全

03-26

　　高中数学是一个非常让人头痛的学科，但是还有有许多同学摆正态度积极学习，为了更好的帮助他们提高成绩。下面是由出国留学网小编为大家整理的“三角形余弦定理公式大全”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　余弦定理(第二余弦定理)

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

　　直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

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　　余弦定理性质

　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质--

　　a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

　　(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

　　第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

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　　余弦定理证明

　　平面向量证法

　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

　　(以上粗体字符表示向量)

　　又∵cos(π-θ)=-Cosθ

　　∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

　　再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

　　即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

　　同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

　　平面几何证法

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得:

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

　　b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*...

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