第九课：矩阵的范数

在所有的数学思想中，归纳和演绎永远都是站在舞台中最光鲜的位置。我们上一节介绍了向量

的范数之后，这一节就来介绍矩阵的范数。我们可以看成向量是特殊的矩阵，矩阵是推广了的

向量。

矩阵满足线性空间的8条性质，所以我们可以说矩阵是线性空间。同样的我们可以验证向量也

满足线性空间的要求，这是矩阵和向量的共性。我们还记得在Kronecker积那一节中，介绍了

Vector转化的概念。m×n维矩阵可以转化成m×n维空间的向量。因此我们在学习过程中可以将

矩阵和向量结合起来学习。

我们不要忘记，引入范数的目的是为了进行度量。就如同我们之前介绍内积的概念一样。所有

的向量空间都可以定义内积空间，引入内积不是目的，引入内积之后，就可以引入夹角长度等

概念。这个空间就变得可以度量了。

额外说一点的是并不是只有线性空间才有范数的定义，任意空间都可以引进范数（这样的空间

我们称为赋范空间），使得这个空间可以被度量。如希尔伯特空间等。

好了，下面我们进入本节的主要内容。首先介绍一下矩阵范数的定义：

通常情况下我们对于矩阵范数的定义还有加上这一条

即相容性。

我们对于矩阵的1范数，2范数和无穷范数也有类似的定义：

下面给出相容性更明确的定义：

接下来举几个相容性证明的例题：

接下来我们把A的k列的绝对列和用全部列的绝对列和放大。或者放大B也可以，我们这里选择

放大B

我们下面来证明一下矩阵2范数是自相容范数：

证明过程中用到了Holder不等式取2的柯西不等式（ \sum_{i=1}^{n}{\left| x_i \right|\left| y_i \right|}\leq\sum_{i=1}^{n}{\left| x_i \right|}\sum_{i=1}^{n}{\left| y_i \right|} ），如果大家忘了，可以看看上一节的内容。因为这个证明和1范数的证明十分类似，所以我就写的简单

一点吧。

我们这里只证明了1范数和2范数具有自相容性，对于无穷范数（矩阵中模最大的元素的值）而

言，是不具有自相容性的。我这里就不证明了，大家可以自己随意举一个例子，很容易就验证

这一点了。

在所有矩阵范数中矩阵2范数应用最多，矩阵2范数又称之为Frobenius范数。

性质（1）过于显然，其证明我就不说了，现在说一下（2）和（3）的证明思路：

下面谈一下（3）：

在之前我们先复习一下酉矩阵的概念，我们知道一个矩阵乘以一个矩阵的转置等式单位阵（

AA^T=E ）在欧式空间里我们称之为正交阵，在酉空间里我们就称他为酉矩阵了，只是将上

标由T改为H而已。（可见正交总是如影随形）有了这个知识基础之后我们就可以上证明了：

关于这个性质我们有如下推论：

该推论表达了矩阵2范数的酉不变性。也就是说无论是左乘酉矩阵，还是右乘酉矩阵或者是两

边都乘酉矩阵。矩阵2范数都保持不变。

写在最后的话：

本节内容我们介绍了矩阵范数，可是却用很大的篇幅来相容性及其相关定理。是因为相容性这

个概念在数值分析领域的迭代方法里面有很大应用。无论是高斯-赛德尔迭代还是雅可比迭代

都中常常用到了相容性这个概念。因为我写的是矩阵理论，关于数值分析的内容我就不展开写

了。我们在下一节算子范数中还会继续用到相容性这个概念。