一文看懂向量的概念及其几何意义

2024-06-01 14:46| 来源: 网络整理| 查看: 265

向量是2D、3D数学研究的标准工具，在3D游戏中向量是基础。因此掌握好向量的一些基本概念以及属性和常用运算方法就显得尤为重要。在本篇博客中，马三就来和大家一起回顾和学习一下Unity3D中那些常用的3D数学知识。

一、向量概念及基本定义

1、向量的数学定义

向量就是一个数字列表，对于程序员来说一个向量就是一个数组。向量的维度就是向量包含的“数”的数目，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是一维向量。书写向量时，用方括号将一列数括起来，如[1,2,3] 水平书写的向量叫行向量垂直书写的向量叫做列向量

2、向量的几何意义

几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段。向量的大小就是向量的长度（模）向量有非负的长度。向量的方向描述了空间中向量的指向。向量的形式：向量定义的两大要素——大小和方向，有时候需要引用向量的头和尾，下图所示，箭头是向量的末端，箭尾是向量的开始

向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐标方向和y坐标方向的位移。

3、向量与点

“点”有位置，但没有实际的大小或厚度，“向量”有大小和方向，但没有位置。所以使用“点”和“向量”的目的完全不同。”点”描述位置，“向量”描述位移。

4、点和向量的关系：

任意一点都能用从原点开始的向量来表达。

二、向量运算

1、零向量

零向量非常特殊，因为它是唯一大小为零的向量。对于其他任意数m,存在无数多个大小（模）为m的向量，他们构成一个圆。零向量也是唯一一个没有方向的向量。

2、负向量

负运算符也能应用到向量上。每个向量v都有一个加性逆元-v，它的维数和v一样，满足v+(-v)=0。要得到任意维向量的负向量，只需要简单地将向量的每个分量都变负即可。几何解释：向量变负，将得到一个和向量大小相等，方向相反的向量。

3、向量大小（长度或模）

在线性代数中，向量的大小用向量两边加双竖线表示，向量的大小就是向量各分量平方和的平方根 ||v||=√(x^2+y^2) （2D向量v） ||v||=√(x^2+y^2+z^2) (3D向量v)几何解释：在2D中的任意向量v，能构造一个以v为斜边的直接三角形，由勾股定理可知，对于任意直角三角形，斜边的长度平方等于两直角边长度的平方和。 ||v||^2 = x^2 + y^2

4、标量与向量的乘法

虽然标量与向量不能相加，但它们可以相乘。结果将得到一个向量。与原向量平行，但长度不同或者方向相反。标量与向量的乘法非常直接，将向量的每个分量都与标量相乘即可。如：k[x,y,z] = [xk,yk,zk]向量也能除以非零向量，效果等同于乘以标量的倒数。如：[x,y,z]/k = [x/k,y/k,z/k] 标量与向量相乘时，不需要些乘号，将两个量挨着写即表示相乘。标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和乘法标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量。负向量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1。几何解释:向量乘以标量k的效果是以因子|k|缩放向量的长度，例如：为了使向量的长度加倍，应使向量乘以2.如果k0 ，则两向量夹角小于 90°。

叉乘：两个向量的叉乘得到一个新的向量 ,新向量垂直于原来的两个向量再乘夹角的正弦值。

叉乘后得到的还是一个向量：

在Unity3D里面。两个向量的点乘所得到的是两个向量的余弦值，也就是-1 到1之间，0表示垂直，-1表示相反，1表示相同方向。两个向量的叉乘所得到的是两个向量所组成的面的垂直向量，分两个方向。简单的说，点乘判断角度，叉乘判断方向。形象的说当一个敌人在你身后的时候，叉乘可以判断你是往左转还是往右转更好的转向敌人，点乘得到你当前的面朝向的方向和你到敌人的方向的所成的角度大小。

作者：马三小伙儿出处：【Unity3d游戏开发】Unity3D中的3D数学基础---向量 - 马三小伙儿 - 博客园请尊重别人的劳动成果，让分享成为一种美德，欢迎转载。另外，文章在表述和代码方面如有不妥之处，欢迎批评指正。留下你的脚印，欢迎评论！

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