图形学笔记（九）几何

图形学笔记（八）着色2 —— 纹理映射、重心坐标、双线性插值、Mipmap、三线性插值、各向异性过滤、纹理的应用（环境贴图、法线贴图等) 图形学笔记（十）几何2 —— 曲面细分（Loop细分、Catmull-Clark细分）、曲面简化（边坍缩、二次度量误差）、曲面正则化

分为显式(Explicit)和隐式(Implicit)。

隐式几何的表现形式：

显式几何的表现形式：

基于对点进行归类，找到满足特定关系的点。例如：球体，在三维空间中可以写成 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x^2+y^2+z^2=1 x2+y2+z2=1。

更通用的表示，f(x,y,z) = 0

优点：

缺点：难以描述复杂的形状，很难知道这个面上有哪些点，很难看出式子表示的是什么形状。

通过一系列基本几何的基本布尔运算来定义新的几何。 例子： 这个方法在很多建模软件得到了很多的应用。

距离函数：给出任何一个位置到物体的最短距离。对一个点不描述表面，而是描述点到表面的最近距离。

把两个物体的距离函数都算出来然后把两个距离函数做融合（blending） 例子：混合一个移动的边界 通过blend两个SDF可以得到移动后的边界。

分别求出两个物体对应的距离函数， 然后把他们blend起来，然后恢复成原本的面（找出SDF 的值为0的位置）

封闭形式的方程很难描述复杂的形状，所以选择一种替代方案：存储一个值近似函数的网格（可以是二维的也可以是三维的） 通过找到插值为0的位置来找到表面，它具有一个对形状更加显示的控制。

例子： 如果有一个三维的纹理表示人体不同位置的骨密度，可以让密度函数=某个具体的值，然后找到所有满足这个等式的位置，就可以得到一个表面。

分形又有自相似的意思，自己的部分和整体很像（有点像递归），例子有雪花（不断的六边形）、下面的西兰花等。 这些类型的几何在渲染时会造成强烈的走样。

所有的点直接给出，或通过参数映射定义表面。

优点：对于表示形状很容易。 有点：难以判断点是否在表面上（或内、外）。

它是一个文本文件，由指定的顶点、法线、纹理坐标和它们的连接组成。

如下图表示了一个立方体：

应用：相机拍摄路径、 动画曲线、定义字体（控制点）。

用一系列的控制点来定义某一条曲线。这些控制点使用切线来定义贝塞尔曲线。 如下图，注意曲线起始方向沿着 P 0 P 1 P_0P_1 P0​P1​，结束方向沿着 P 2 P 3 P_2P_3 P2​P3​。（不要求曲线经过控制点，但一定要经过起止点）

给定三个控制点生成的贝塞尔曲线称为二次贝塞尔曲线（quadratic Bezier）。

使用线性插值插入一个点（假设起点是时间0，终点是时间1）。

在另一条边上也插入这个点。

如果有n+1个控制点（从0开始编号），可以得到n阶的贝塞尔曲线。

例如，当n=3时， b n ( t ) = b 0 ( 1 − t ) 3 + b 1 3 t ( 1 − t ) 2 + b 2 3 t 2 ( 1 − t ) + b 3 t 3 b^n(t)=b_0(1-t)^3+b_13t(1-t)^2+b_23t^2(1-t)+b_3t^3 bn(t)=b0​(1−t)3+b1​3t(1−t)2+b2​3t2(1−t)+b3​t3

凸包：能够包围几何形体的最小的凸多边形。

由于当控制点太多，曲线难以被控制点控制。 所以逐段定义贝塞尔曲线（习惯用四个控制点）。

在PhotoShop等工具中应用了这个性质。 如果要让不同的分段之间光滑过渡，只需要在切线上连续（方向和大小上）即可。

把贝塞尔曲线的概念延申到平面上。

对于bi-cubic 贝塞尔曲面的一段： 输入：4*4 控制点 输出：一个在 [ 0 , 1 ] 2 [0,1]^2 [0,1]2内的(u,v)参数化的二维曲面 目标：计算与(u,v)对应的曲面位置