【3B1B笔记】e的矩阵指数

【【官方双语】e的矩阵指数——怎么算？为什么？】

注：本文未记录薛定谔方程及量子力学部分

把不同的式子带入泰勒级数，记作e的指数

对于矩阵的式子来说，为矩阵的乘方和加减运算，但对是否可以推广到无穷存疑

将矩阵带入该级数，取极限后趋近于,差不多是(-1)×单位矩阵。此特例为欧拉公式的矩阵版本

将某个矩阵带入该级数，当项数足够大时，级数的和总会趋向某个定值

x(t)：朱丽叶对罗密欧的爱；y(t)：罗密欧对朱丽叶的爱，两者都随时间变化

满足与

将罗密欧和朱丽叶的关系看作二维平面上的一个点，x坐标代表朱丽叶的爱，y代表罗密欧。也将其表示为二维列向量把这个状态的变化率可视化，它包含x和y的导数，其实就是这个状态空间里的速度向量。可以把我们画出的箭头朝着某个方向拖动，箭头的长度反映了状态变化的快慢。

x的变化率是-y，y的变化率是x，将其写成矩阵乘法的形式

我们得到了一个为微分方程组，及某向量的变化率等于一个矩阵乘这个向量本身

是90°旋转矩阵，即无论罗密欧与朱丽叶在这个状态空间的哪一点，他们的变化率都等于位置向量旋转90°，而能让速度向量像这样垂直于位置向量的唯一方法，是绕原点做圆周运动，半径不增大也不减小，因为速度在位置方向上没有分量，且，即单位时间旋转1弧度。

更普遍的旋转矩阵是，即t之后的状态为该旋转矩阵乘初始状态

即只有一个变化的值，且变化的速率等于一个常数乘上变量自身，即r越大，梯度越大

显然，即为上述微分方程的解。但实际上，这个方程有很多不同的解，每个初始值都对应着一个解，而的值越大，最终解的初始坡度就越大

不要把指数看作方程的解本身，把指数作用在初始值之后，得到的才是方程的解

在二维的情况下，我们有一个变化的向量，它的变化率是一个矩阵乘以向量自己，所以，最终的解也是一个指数项再乘以一个初始向量，不过指数的部分会变成随时间变化的矩阵，而初始条件是一个向量。而矩阵指数的定义，很大程度上就是为了保证上面的正确性。

最终的解其实应该是

将矩阵代入泰勒级数（即为泰勒级数的记号）会发现矩阵的乘方每四步会走过一个循环

将其逐项相加，矩阵中每个元素均为sin(t)或cos(t)的泰勒展开式

与2.3中所得的旋转矩阵是相同的，同时也解释了1.2中提到的特例

从这个地方往后都不太熟了，待以后更具体补充

我们把罗密欧和朱丽叶对彼此的爱意封装到一个复数里，那么这个复数的变化率就会等于i乘上它自身，因为乘以虚数单位i也是一个逆时针旋转90°的操作，所以，用描述旋转是很自然的

i表达的意思是，一个特定状态的变化率，可以说是与状态始终垂直，因此之后系统的状态会不断来回转动

其余略

方程的内在含义就是整个系统的速度向量完全由它所处的位置决定，所以我们要做的就是在空间的每一点上画出一个向量来表示系统在这一点的速度。对于我们这个方程，就是空间中所有位置v上，画出速度向量

我们可以沿着向量场流动，每一点的流速等于该点处的向量。那么，从起点到终点的变换就可以用的计算结果来描述

在计算矩阵指数之前，就可以通过向量场对可能的答案做出初步评估，最终得到的矩阵表示的是时间从0到t的一个变换，从向量场上看，它在一条对角线的方向上压缩，另一条上拉伸，随着时间的推移，越来越夸张。