欧拉公式

（代数里也有关于复数的 "欧拉公式"， 本页面讲的是关于几何和图表的欧拉公式）

在一个不和自己交叉的多面体中，

永远等于 2

公式可以写成这样：F + V − E = 2

以立方体为例：

立方体有 6面，8个顶点，和 12条棱，

那么：

6 + 8 − 12 = 2

要理解为什么是这样的，想象在立方体上加一条棱 （例如在其中一面上加一条对角线）。

这样便多了一条棱和一个面：

7 + 8 − 13 = 2

同样，如果加一个顶点 （例如在其中一条棱的中心），也会多了一条棱。

6 + 9 − 13 = 2.

"不管怎么样，答案都是 2" （但只在这种多面体上成立……继续看下去！）

我们用五个柏拉图固体来试试看（注意：欧拉公式可以用来证明只可能存在五个柏拉图固体）：

所有柏拉图固体（和很多其他多面体）都像球体 …… 我们可以把它们变成球体（移动顶点，把面弯曲）。

因此，我们知道对球体来说， F + V − E = 2

（但小心，我们不能说球体只有一面并且没有顶点和棱 F+V−E=1）

所以结果仍然是 2……

在上面你看到了在什么情况下欧拉公式是成立的，现在我们来看看在什么时候它是不成立的。

如果我们把二十面体的两个对角压在一起呢？

它还是个二十面体（但不再是凸多面体）。

形状好像一个面跟底在中间缝在一起的鼓。

棱和面的个数没变……但少了一个顶点！

所以：

F + V − E = 1

哈！加起来不再是 2 了。

原因是这是一个不同的多面体……两个顶点缝在一起变成一个顶点了。

因此，F+V−E 可以等于 2，或 1，或其他数值，所以广义的公式是

F + V − E = χ

其中 χ 是 "欧拉示性数".

以下是更多的例子：

欧拉特征数也可以是负数。

这是 "六合五面体"：它有 10面（乍看好像更多，但其中一些 "内"表面其实是同一个面），24条棱和 12个顶点，所以：

F + V − E = −2

欧拉示性数是拓扑学（空间性质的研究）的一个基本概念。

最后，为了避免不够周全，我们一定要给你看看其实甜甜圈和咖啡杯是一样的！

它们可以互相易形――变形成对方。

我们说这两个物件是 "异质同形" 的（源自希腊语 homoios = 相同 和 morphe = 形状）

好像柏拉图固体和球体是异质同形的。

（动画由维基百科用户：Kieff 提供）