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【精选】全概率公式
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全概率公式
在学习全概率公式之前需要先了解一下样本空间的划分 样本空间划分设 B i ⊂ S , i = 1 , 2 , . . . , n B_i \subset S,i=1,2,...,n Bi⊂S,i=1,2,...,n满足： B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn两两不相容 S = ⋃ i = 1 n B i S=\bigcup^{n}_{i=1}B_i S=⋃i=1nBi则称： B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分， B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组 了解了样本空间划分接下来就学学全概率公式吧 全概率公式设 A ⊂ S A \subset S A⊂S B 1 , B 2 , . . . , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分。 P ( B i ) > 0 P(B_i)>0 P(Bi)>0则 P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) p ( A ∣ B i ) P(A)=\sum^{n}_{i=1}P(B_i)p(A|B_i) P(A)=∑i=1nP(Bi)p(A∣Bi) ∵ A = A S = A ( B 1 ⋃ . . . ⋃ B n ) = A B 1 ⋃ . . . ⋃ A B n 且 A B 1 , . . . , A B n 两 两 不 相 容 。 ∴ P ( A ) = P ( A B 1 ) + . . . + P ( A B n ) = P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) + . . . + P ( B n ) p ( A ∣ B n ) \because A=AS=A({B_1}\bigcup...\bigcup{B_n})\\ {\quad}{\ }{\ }{\;}={AB_1}\bigcup...\bigcup{AB_n}\\ 且{AB_1},...,{AB_n}两两不相容。\\ \therefore P(A)=P(AB_1)+...+P(AB_n)\\ {\quad}{\qquad}{\,}=P(B_1)P(A|B_1)+...+P(B_n)p(A|B_n) ∵A=AS=A(B1⋃...⋃Bn) =AB1⋃...⋃ABn且AB1,...,ABn两两不相容。∴P(A)=P(AB1)+...+P(ABn)=P(B1)P(A∣B1)+...+P(Bn)p(A∣Bn) 这个就是所谓的全概率公式了。 全概率公式图解S = B 1 ⋃ B 2 ⋃ . . . ⋃ B n A = B 1 A ⋃ B 2 A ⋃ . . . ⋃ B n A P ( A ) = P ( A B 1 ) + . . . + P ( A B n ) P ( A ) = P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) + . . . + P ( B n ) p ( A ∣ B n ) S={B_1}\bigcup{B_2}\bigcup...\bigcup{B_n}\\ A={B_1A}\bigcup{B_2A}\bigcup...\bigcup{B_nA}\\ P(A)=P(AB_1)+...+P(AB_n)\\ P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+...+P(B_n)p(A|B_n) S=B1⋃B2⋃...⋃BnA=B1A⋃B2A⋃...⋃BnAP(A)=P(AB1)+...+P(ABn)P(A)=P(B1)P(A∣B1)+...+P(Bn)p(A∣Bn)
全概率公式为了计算在各种可能原因下，事件A发生的概率，接下来我们看一道例题来理解什么是所谓的全概率公式 例题110张同样的卡片只有2张上印有“迪士尼门票”的字样，其他的卡片均为空白，将其无放回依次抽取。问❓后抽的人比先抽的人吃亏吗？ 因为无放回抽取的缘故，第二个人抽中的概率就会受到第一个人是否抽中的影响。粗略一想好像不是很明白该如何计算，那么直接看下面的答案即可，这种情况下用全概率公式最好的了😋
A
1
:
第
一
人
抽
中
。
A
2
:
第
二
人
抽
中
。
所
求
概
率
：
P
(
A
2
)
由
全
概
率
公
式
：
P
(
A
2
)
=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
∣
A
1
)
+
P
(
A
1
‾
)
P
(
A
2
∣
A
1
‾
)
=
2
10
×
1
9
+
8
10
×
2
9
=
2
10
A_1:第一人抽中。\qquad A_2:第二人抽中。\\ 所求概率：P(A_2)\\ 由全概率公式：\\ {\qquad} P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})\\ {\qquad}{\qquad}{\ }{\ }{\ }=\frac{2}{10}\times \frac{1}{9}+\frac{8}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{2}{10}
A1:第一人抽中。A2:第二人抽中。所求概率：P(A2)由全概率公式：P(A2)=P(A1)P(A2∣A1)+P(A1)P(A2∣A1) =102×91+108×92=102 答案一写，含义其实非常简单明了，就是把2种情况的概率加一下就搞定了。只能说全概率不过如此捏😋😋😋 例题2在进行问卷调查时，往往有些问题是被问卷者不愿意回答的，这时我们可以对问卷进行如下的设计 如为调查某次考试的作弊情况，给被访者设定2个问题 你在本次考试中作弊了吗?你在本次考试中没有作弊吗?被访者通过随机抽签来回答问题一或者问题二 。如果被访者真的作弊了，抽中问题1则答是 ，抽中问题2则答否 抽签的结果只有自己知道，他只需回答是或否 ，而访问者并不知道他回答的是问题一还是问题二 ，所以被访者可以没有顾虑的真实作答. 假设选择回答问题一的概率为0.7 ，收回的答案中回答是的概率是0.31 ，试计算出此次考试的作弊率 。 设 A : 回 答 问 题 一 B : 回 答 “ 是 ” 设 作 弊 概 率 为 p 由 条 件 ： P ( A ) = 0.7 P ( B ) = 0.31 P ( B ∣ A ) = p P ( B ∣ A ‾ ) = 1 − p 由 全 概 率 公 式 ： P ( B ) = P ( A ) P ( B A ) + P ( A ‾ ) P ( B A ‾ ) 0.31 = 0.7 p + 0.3 ( 1 − p ) p = 0.025 设\mathsf{A}:回答问题一 \quad \mathsf{B}:回答“是” \quad 设作弊概率为 \mathsf{p} \\ 由条件：{\quad} \mathsf{P(A)=0.7}{\quad}\mathsf{P(B)=0.31}\\ {\qquad}{\qquad}{\ }{\ }\mathsf{P(B|A)=p} {\quad} \mathsf{P(B|\overline{A})=1-p}\\ 由全概率公式：{\;} \mathsf{P(B)=P(A)P(BA)+P(\overline{A})P(B\overline{A})}\\ {\qquad}{\qquad}{\qquad}{\;}{\;}\mathsf{0.31=0.7p+0.3(1-p)}\\ {\qquad}{\qquad}{\qquad}{\qquad}\mathsf{p=0.025} 设A:回答问题一B:回答“是”设作弊概率为p由条件：P(A)=0.7P(B)=0.31 P(B∣A)=pP(B∣A)=1−p由全概率公式：P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)0.31=0.7p+0.3(1−p)p=0.025 这题刚开始我看着 P ( A B ) P(AB) P(AB)这样的形式懵😵😵😵了很久，因为积事件说的不是同时发生吗？这里不是先发生A再发生B么？ 后来稍稍琢磨了一下，才理解这个所谓的同时发生指的不是时间上的同时 😋😋😋而是事件上的同时也就是所谓的都发生 。我想我该去改改之前那篇博客里关于积事件的关系描述了😂 最后想说的话又到了这个熟悉的环节，这节课的最后，老师分别给出例题1的100次模拟实验和1000次模拟实验 虽然通过计算得到了，不管是第几个抽的人概率都是0.2 ，但是这里我想说的是现实情况中真的是这样么？ 100次模拟实验： 可以看到在模拟实验中第6个抽的人在100次中抽中了25次而第10个人抽中的次数仅为14次。 这说明我们通过全概率算出来的0.2是错的吗？当然不是，这只是因为实验次数过少导致的 1000次模拟实验： 可以看到在1000次的模拟下每个人的概率都非常接近0.2 。这证明了全概率公式的正确。 但是另一个问题来了，在现实生活中，我们能重复抽1000次么？尽管概率上每个人都相同，但在有限的1次抽奖中，这个0.2真的能说服你吗？🤔 0.2 。这证明了全概率公式的正确。 我想这个时候或许应该根据100次模拟实验里做抽奖的第6人或许才是更好的选择 |
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