【数字信号处理】第六章知识点归纳（IIR滤波器设计）（未完待续...）

1. 数字滤波器的基本概念

①数字滤波器的分类：

1) 经典滤波器——一般滤波器

特点：输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占不同的频带。

举例：巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器。

2) 现代滤波器

特点：频带重叠

举例：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器。

3) 经典滤波器分类：

从功能上分：低通滤波器、高通滤波器、低通滤波器、带阻滤波器。

数字滤波器的传输函数H(e^{j\omega})以2π为周期，低通频带位于2π的整数倍附近，高通频带位于π的奇数倍附近。

在实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。他们的系统函数分别为：

数字滤波器中，能处理的最高的频率成分是采样率fs的一半。

不可避免地存在频谱混叠的现象。

②数字滤波器的技术指标

通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e^{j\omega})用下式来表示：

幅频特性：表示信号通过滤波器后各频率成分振幅衰减情况。

相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。

即使幅频特性完全一样，相频特性不一样，输出波形也可能完全不同。

一般选频滤波器的技术指标由幅频特性给出，因为对于若干典型滤波器（巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波器、椭圆滤波器）

由于滤波器是有限阶的，因此通带和阻带允许误差，即通道增益有起伏，阻带不是衰减到零，且存在过渡带。

通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数来表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：

片选常数特性：

1) 选频滤波器对于幅频特性曲线形状无具体要求。

2) 仅要求纹波幅度小于某个常数。

如将|H(ej0)|归一化为1，则表示成：

如果对输出波形有保真要求（信号传输、图像处理），则要求采用线性相位滤波器，即FIR滤波器。

③数字滤波器设计方法概述

1) IIR滤波器的设计方法

借助于模拟滤波器的设计方法进行、Ha(s) →H(z)，直接在频域或时域中设计

2) FIR滤波器的设计方法

窗函数法、频率采样法、切比雪夫等纹波逼近法

3) 特殊的线性相位滤波器设计

IIR滤波器+全通相位校正网络、FIR滤波器

2. 模拟滤波器的设计

几种典型滤波器的比较：

1)巴特沃斯滤波器：具有单调下降的幅频特性。

2)切比雪夫滤波器：幅度特性在通带或阻带内有波动，选择性更好。

3)椭圆滤波器：选择性最好，但通带和阻带内都存在等纹波，相位非线性稍严重。

4)贝塞尔滤波器：同长具有较好的线性相位特性。

① 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

设计指标：αp, Ωp, αs和 Ωs

αp：通带最大衰减系数。

Ωp：通带截止频率。

αs：阻带最大衰减系数。

Ωs：阻带截止频率。

对于单调下降的幅度特性，可以表示为：

归一化过后，可以得到：

如果Ωc称为3dB截止频率，因此：

滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数

② 巴特沃斯低通滤波器的设计方法

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式表示：

特点：

1) 极点在s平面上象限对称。

2) 极点绝不会落在虚轴上，因而滤波器才有可能稳定。

3) N为奇数，实轴上有极点；N为偶数，实轴上无极点。

为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为：

    由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示为 

    式中，令p= η+jλ=s/Ωc。λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；

    p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为

阶数N的大小主要影响幅度特性的下降速度，它由技术指标αp, Ωp,αs和Ωs确定。

用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器

工具箱函数buttap,buttord和butter。

[Z,P,K]=buttap(N);得到的系统函数为

[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As);

已知wp：通带边界频率；ws：阻带边界频率；Rp：通带最大衰减；As：阻带最小衰减。

求得N：滤波器阶数；wc：截止频率。

要求：0≤wp ≤1， 0≤ws ≤1；Rp，AS单位dB。

ws≤wp时，为高通滤波器；

wp和ws为二元矢量时，为带通或带组滤波器，此时wc也为二元矢量。

巴特沃斯滤波器的缺点：频率特性曲线是频率的单调函数，当通带边界处满足指标要求时，通带内有余量。

更有效的设计方法：选择具有等波纹性的逼近函数，使得精确度均匀分布在整个通带或阻带内，可降低阶数。（切比雪夫滤波器）

切比雪夫滤波器I型：振幅特性在通带内等波纹，在阻带内单调。

切比雪夫滤波器II型：振幅特性在通带内单调，在阻带内等波纹。

切比雪夫I型滤波器的设计方法：

分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫I型滤波器幅频特性。幅度平方函数用A^2(Ω)表示：

式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。

令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为：

     图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。

     由图可见：

      (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；

      (2)当|x|