2.1.1 指数与指数幂的运算多媒体教学设计及其点评

2.1.1 指数与指数幂的运算… 高中数学       人教A版2003课标版

 学生们已经掌握了整个整数指数幂的概念，所以对于接受分数指数幂的概念及有关运算性质也比较容易，并且也刚刚学习过根式的内容，有助于对分数指数幂的规定。对于学生来说，比较困难的可能是对负分数指数幂的理解，以及运用运算性质做一些相关计算。但总体来说，本节课的内容难度都不打，容易接受。

知识与技能

（1）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。（2）会对根式、分数指数幂进行互化。（3）了解无理指数幂的概念

过程与方法

通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。

情感、态度与价值观

通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

根式、分数指数幂的概念及其性质。

（1）根式的相关概念

（2）整数指数幂：

运算性质： 。

2、问题情境设疑

问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系 ，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。

例如：

当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为 ， ， ，……

当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为 ， ， 。

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？

问题2：如何计算： ？

分析： ，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

3、分数指数幂

实例引入： ，

问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成 的形式

2、 如何表示？

结论：规定

问题3、正数的负分数指数幂是：

分析：

如： ， 。

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

4、有理指数幂的运算性质：

（1） ·          ；

（2）                ；

（3）            

回到前面的问题，则有 ，对于本节开头的问题2，考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P的值。例如

当t=6000时，P= （精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%。相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。

例1．求值：

例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:

①                                   ②a2·                                  ③

例3.计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）                 （2）

例4.计算下列各式 

（1）                          （2）

例5.设 均为不等于1的正数，且 ， 求 的值。

四、实战演习

1.已知 ，求下列各式的值

（1）         （2）             （3）

五、归纳小结，强化思想

本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

六、作业布置

2.1.1 指数与指数幂的运算

2.1.1 指数与指数幂的运算

（1）根式的相关概念

（2）整数指数幂：

运算性质： 。

2、问题情境设疑

问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系 ，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。

例如：

当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为 ， ， ，……

当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为 ， ， 。

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？

问题2：如何计算： ？

分析： ，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

3、分数指数幂

实例引入： ，

问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？

当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成 的形式

2、 如何表示？

结论：规定

问题3、正数的负分数指数幂是：

分析：

如： ， 。

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

特别指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

4、有理指数幂的运算性质：

（1） ·          ；

（2）                ；

（3）            

回到前面的问题，则有 ，对于本节开头的问题2，考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P的值。例如

当t=6000时，P= （精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%。相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后，都能够顺利解决。

例1．求值：

例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:

①                                   ②a2·                                  ③

例3.计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）                 （2）

例4.计算下列各式 

（1）                          （2）

例5.设 均为不等于1的正数，且 ， 求 的值。

四、实战演习

1.已知 ，求下列各式的值

（1）         （2）             （3）

五、归纳小结，强化思想

本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．

六、作业布置