高中数学

向量

一、基本概念：

l 向量（定义）：有大小又有方向的量。

l 模：向量的长度或者说向量的大小。

二、向量的分类：

l 平行向量：方向相同或相反的非零向量；

l 共线向量：即平行向量；

l 相反向量：方向相反的非零向量；

l 单位向量：长度等于1个单位长度的向量；

l 零向量：长度为0的向量。（零向量于任意向量平行；零向量的相反向量仍是零向量；）

三、向量的运算

1、向量加法：

l 向量加法的三角形法则：即几个向量相加，则几个向量首位顺次连接，最终的和向量为第一个向量的头指向最后一个向量的尾。

任一向量与其相反向量的和是零向量；

l 向量加法的平行四边形法则：若相加的两个向量起点相同时，可以使用该方法，其实质仍未三角形法则。

2、向量的减法：可以理解为加上被减数加上减数的相反向量，改变方向按照向量加法的定理进行计算即可。

3、向量的数乘：实数λ与向量相乘的运算。其中：

当λ=0，则结果为零向量；

当λ＞0，则与原向量同向；

当λ＜0，则与原向量反向；

（即实数λ的大小代表了将原向量的大小缩小或扩大的倍数；λ的符号代表了是否改变原向量的方向。）

向量的加减数乘统称为响亮的线性运算。

向量共线定理：

4、向量的数量积

可以借用物理学中的矢量相乘进行理解，将一个矢量分解到另一个矢量的方向上再相乘。

有向量的数量积可以得到两个向量的夹角，即：

ü

ü

ü

l 投影向量：

向量的数量积满足的运算律：

交换律

分配律（合力的功等于各个分力功的和）

四、向量基本定理及坐标的表示

平面向量基本定理：

平面内任意一对不共线的向量均可以看成一组基底，结合坐标轴的学习，我们会发向单位正交基是一组最简单的基底，所以应用的也非常的广泛。

五、向量坐标表示与运算

结合平面直角坐标系内，任意一点P均可以用一对有序实数对进行表示，如P(x,y)。以此类推，我们将点P唯一对应着以原点O为起点、P为终点的向量，也用一对有序实数对进行表示。

可以理解为：向量虽有方向和大小，但是它仅仅是用来研究问题的一种手段，跟其所处的具体位置无关。在使用实数对表示向量时，实在使用一组单位正交基表示向量，两个实数分别表示正交基的倍数。如同之前所学习的坐标一样，可以自行画出这个坐标即可很好理解。

l 向量加法 对应实数对相加（或者说对应坐标相加）；

l 向量减法 对应坐标相减；

l 向量数乘 对用坐标的数乘；

l 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。

l 两个向量的数量积 对应坐标的乘积的和；

l 两向量的夹角：

l 两向量垂直：

l 两向量平行：

向量的应用：物理学中矢量的计算，如：小船过河速度，多个力的作用效果等等。