向量点乘(即内积)和叉乘(即外积、向量积)区别与意义分析

  向量之间的叉乘和点乘，概念易混淆，分别不清楚，因此本文专门对这个概念进行了详细分析介绍。首先，介绍一下向量（Vector），在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。   在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。向量：既有方向又有大小的量。通常情况下会将向量放到坐标系中，常用的是笛卡尔坐标系，向量起始点通常放到原点（注：没有固定的起点，只要方向相同，大小相等，就认为两向量是相同的，但为了用数值坐标来表示向量，将起始点放到原点）

 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。 假设向量a和向量b：      a和b的点积公式（要求一维向量a和向量b的行列数相同）为：               

  点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： a·b = |a||b|cos(θ) θ是向量a和向量b见的夹角。这里|a|我们称为向量a的模(norm)，也就是a的长度， 在二维空间中就是|a| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角： cos(θ) = a·b /(|a||b|) 对于推导过程可以稍微利用余弦定理如下， 首先看一下向量组成：   定义向量： c = a - b 根据三角形余弦定理有：            根据关系c = a - b（a、b、c均为向量）有：      　向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：                 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：    a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间    a·b=0    正交，相互垂直    a·b