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切线、切点弦与同构式
一、圆的切线和切点弦
结论一、圆上一点处的切线方 程是;
![]() ![]() 结论四、圆外一点引两条切线的切点弦方程是. 二 、椭圆的切线和切点弦 结论一、椭圆上点处的切线方程是;![]() 【证明】设切点为,因为点在切线上,所以. 椭圆于直线联立方程,消去变量并整理得: ![]() 化简,得 , 由于直线与椭圆相切,则方程组只有一个根,且该根为,于是 化简,得 故可得切线方程为. 结论二、椭圆外一点引两条切线的切点弦方程是.![]() 【证明】 设切点坐标为,,则切线,的方程分别为,. 又因为直线,过点,所以 ![]() 上面两个式子说明,点,点同时满足直线方程. 因为两点确定一条直线,所以的直线方程是. 这里用到了同构式思想. 我们把结构相同的两个式子或多个式子,称为同构式. 比如和就是一组同构式. 若,则直线的方程为,因为两点定直线. 三、双曲线的切线和切点弦 结论一、双曲线上点处的切线方程是;结论二、双曲线外一点引两条切线的切点弦方程是. 四、抛物线的切线和切点弦 结论一、抛物线上点处的切线方程是;【证明】 设切点坐标为,切线方程为, 联立 化简,得 因为直线与抛物线相切,所有方程只有一个根,而且这个根是,则 , 又点在抛物线上,所以,故切线方程为. 结论二、抛物线外一点引两条切线的切点弦方程是.【证明】 设切点坐标为,,则切线,方程为 , . 又因为直线过点,所以 , 同理 . 因此直线方程为 . 练习题: (2019全国Ⅲ卷21)已知曲线,为直线上的动点,过作的两条切线,切点分别为. 证明:直线过定点. |
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