《数值方法:原理、算法及应用》第7次课：层次分析法

决策，无论大小，都渗透在我们生活的每一个角落。从每天琐碎的选择，比如早餐吃什么，到人生重要的十字路口，比如选择大学专业或职业路径，决策无处不在。但如何做出明智、理性的决策呢？这就需要一种系统、科学的方法——层次分析法。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种实用的多准则决策工具。该方法的核心在于将庞大且错综复杂的决策难题拆解为多个清晰明了的层次和因素。通过对这些因素进行系统的两两比对，我们能够准确地判断出各因素在决策中的相对重要性。最终，层次分析法为决策者提供了一套明确、可量化的决策支持体系。

这一方法起源于20世纪70年代中期，由美国运筹学家托马斯·塞蒂（Thomas L. Saaty）所创立。塞蒂博士洞察到传统决策方法的局限性，如过度依赖主观判断、难以精确量化等，因此致力于开发一种更为科学、客观的决策分析框架。层次分析法的出现，填补了这一空白，它通过引入数学原理和结构化思维，极大地增强了决策过程的严谨性和可操作性。

自问世以来，层次分析法在多个领域都展现出了其强大的实用价值。无论是企业战略规划、项目管理，还是政府政策制定、环境评估，层次分析法都能帮助决策者穿透迷雾，找到最优解决方案。经过数十年的实践与发展，层次分析法已成为现代决策科学中不可或缺的一部分。

当然可以，以下是关于层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）的更详细、更丰富的介绍，包括其历史背景、应用案例以及具体实例。

企业选址问题：假设某公司计划在一个新地区建立分厂，需要考虑的因素包括交通便利性、劳动力成本、市场需求等。通过层次分析法，公司可以将这些因素分解为不同的层次，并对每个因素进行权重分配和比较，最终确定最佳的选址方案。

产品开发决策：在产品开发过程中，公司需要权衡多个因素，如产品性能、成本、市场需求等。层次分析法可以帮助决策者对这些因素进行量化评估，从而选择最优的产品开发策略。

环境保护政策制定：政府在制定环境保护政策时，需要考虑经济发展、环境保护和社会可接受性等多个方面。通过层次分析法，政府可以将这些方面分解为具体的指标，并对每个指标进行权重分配和评估，最终制定出符合各方面利益的环境保护政策。

以企业选址问题为例，假设某公司正在考虑在三个候选城市（A、B、C）中建立一个新工厂。以下是使用层次分析法进行决策的步骤：

建立层次结构模型：首先，确定决策的目标（如最小化成本、最大化利润等），然后识别影响决策的关键因素（如交通便利性、劳动力成本、市场需求等），并将这些因素分解为不同的层次。

构造判断矩阵：针对每一层次的因素，构造一个判断矩阵，用于比较各因素之间的相对重要性。判断矩阵中的元素表示两两比较的结果，通常采用1-9标度法来量化比较结果。

计算权重向量：通过求解判断矩阵的特征值和特征向量，得到各因素的权重向量。权重向量表示各因素在决策中的相对重要性。

一致性检验：为了确保判断矩阵的一致性（即避免出现逻辑矛盾），需要进行一致性检验。如果判断矩阵的一致性比率（Consistency Ratio，CR）小于0.1，则认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

计算方案层的优先级：将各备选方案（即候选城市A、B、C）在每个因素上的得分与对应因素的权重相乘，得到各方案在每个因素上的加权得分。然后，将这些加权得分相加，得到各方案的总得分。根据总得分的高低，可以确定各备选方案的优先级。

通过以上步骤，公司可以使用层次分析法来确定最佳的选址方案。需要注意的是，层次分析法虽然提供了一种结构化的决策方法，但仍然需要决策者的主观判断和经验来确保结果的准确性和可靠性。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）的优点主要包括以下几个方面：

系统性和层次性：层次分析法能够将复杂问题系统化地拆解成不同的层次和元素，通过逐层分析来简化问题。这种方法提供了清晰的结构和框架，使得决策者能够更容易地理解和处理复杂的决策问题。

定性与定量相结合：层次分析法允许决策者结合定性和定量的信息进行分析。它采用数学方法量化元素的相对重要性，但同时也考虑到了专家的主观判断和经验，实现了主客观相结合的分析方式。

灵活性和实用性：层次分析法在应用中具有很高的灵活性，可以根据具体问题调整层次结构和评价指标。此外，它简单易行，不要求决策者具备高深的数学背景，使得非专业人士也能参与并理解决策过程。

增加决策透明度：层次分析法通过明确的模型和步骤来展示决策过程，增加了决策的透明度和可信度。它有助于避免或减少决策过程中的主观臆断和不确定性。

多目标决策能力：对于涉及多个目标和标准的决策问题，层次分析法能够综合考虑各种因素，通过权重的分配来平衡不同目标之间的关系，从而得到全面而合理的决策结果。

广泛的应用领域：层次分析法在不同领域都具有广泛的适用性，如企业管理、政策制定、城市规划、资源分配、风险评估等。它可以用于解决各种类型的决策问题，包括战略选择、方案比较、优先级排序等。

需要注意的是，尽管层次分析法具有上述诸多优点，但在应用中也存在一定的局限性，如权重确定的主观性、数据敏感性以及对问题规模的限制等。因此，在使用层次分析法进行决策时，应充分考虑其适用范围和条件。

假设我们要选择一个最佳的旅游目的地，考虑的因素包括景色（A）、费用（B）、居住条件（C）和饮食（D）。我们有三个候选目的地：P1、P2和P3。

建立层次结构：

目标层：选择最佳旅游目的地。

准则层：景色（A）、费用（B）、居住（C）、饮食（D）。

方案层：P1、P2、P3。

构造判断矩阵：

对于准则层的每个因素，我们需要构造一个判断矩阵来比较不同方案之间的相对重要性。以景色（A）为例，我们可以构造以下判断矩阵：

这里的矩阵元素表示相对重要性。例如，P1相对于P2在景色方面的重要性是3，而P2相对于P1的重要性是1/3。同样地，我们可以为费用（B）、居住（C）和饮食（D）构造类似的判断矩阵。

一致性检验：

为了确保判断矩阵的一致性，我们需要进行一致性检验。这通常涉及计算一致性比率（CR），如果CR小于某个阈值（如0.1），则认为判断矩阵的一致性是可以接受的。

一致性检查的目的是为了确保判断矩阵中的元素在逻辑上是一致的，避免出现自相矛盾的情况。在AHP中，我们通过构建判断矩阵来表示不同准则或方案之间的相对重要性。然而，由于判断矩阵是由专家或决策者主观给出的，因此可能会存在不一致性。

一致性检查的数学原理基于线性代数中的特征值和特征向量的概念。对于一个正互反矩阵（即满足(a_{ij} = 1/a_{ji})的矩阵），如果它是一致性矩阵，那么它的最大特征值应该等于它的阶数，且对应的特征向量可以表示各元素的相对权重。然而，在实际应用中，判断矩阵往往不是完全一致的，因此我们需要通过一致性检查来评估其不一致性的程度。

一致性指标（Consistency Index, CI）是用来衡量判断矩阵不一致性的一个重要参数。它定义为最大特征值λmax与矩阵阶数n之差除以n-1，即(CI = (\lambda_{max} - n) / (n - 1))。CI值越小，说明判断矩阵的一致性越好。

然而，CI值受到矩阵阶数的影响，因此为了消除这种影响，引入了随机一致性指标（Random Index, RI）。RI是通过随机生成大量正互反矩阵并计算其CI值得到的平均值。对于不同阶数的矩阵，RI值是不同的，可以通过查表得到。

最终，我们计算一致性比率（Consistency Ratio, CR），即CI与RI的比值，

来评估判断矩阵的一致性。如果CR值小于0.1，通常认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，需要对判断矩阵进行调整以改进其一致性。

计算权重：

对于每个判断矩阵，我们可以计算其特征值和特征向量来确定各方案的权重。这些权重表示了各方案在相应准则下的相对重要性。

综合评估：

最后，我们将各准则下的权重与相应方案的得分相乘并求和，得到每个方案的总得分。根据总得分的高低，我们可以确定最佳旅游目的地。

当然，我们可以继续上面的例子，并假设我们已经为费用（B）、居住条件（C）和饮食（D）也构造了判断矩阵，分别记作B、C和D。然后，我们将计算每个城市在每个准则下的得分。

假设费用判断矩阵B如下：

假设居住条件判断矩阵C如下：

假设饮食判断矩阵D如下：

对于每个判断矩阵，我们需要计算其最大特征值对应的特征向量，然后将特征向量归一化以得到权重向量。这里为了简化计算，我们假设已经通过某种方法（如和法、根法等）得到了归一化后的权重向量。

假设景色（A）的权重向量为：

这表示在景色方面，P1被认为是最重要的，其次是P2，最后是P3。

假设费用（B）的权重向量为：

假设居住条件（C）的权重向量为：

假设饮食（D）的权重向量为：

为了得到每个城市的综合得分，我们还需要确定每个准则的全局权重。这通常是通过构造一个包含准则之间相对重要性的判断矩阵来完成的。但在这里，为了简化，我们假设所有准则具有相等的重要性。

因此，每个城市的综合得分可以通过将它在每个准则下的得分与相应准则的全局权重相乘，然后将结果相加来得到。但在这个简化的例子中，由于所有准则的权重相等，我们只需简单地将每个城市在所有准则下的得分相加即可。

然而，需要注意的是，这里的“得分”实际上是指权重，它们表示了相对重要性而非绝对得分。因此，更准确的做法是将这些权重用于进一步的决策分析，如加权和法或加权积法，以得出每个城市的最终排名或选择。

在实际应用中，层次分析法的每个步骤都需要仔细执行和验证，包括判断矩阵的构造、一致性检验以及权重的计算。而且，通常还需要进行敏感性分析来评估结果对不同输入变化的稳定性。

上面是我用字符来画的一个图，不是很好看懂，我再手绘一个

虽然层次分析法（AHP）中的权重并不直接等同于概率，但我们可以从概率的角度出发，为您提供一种直观的解释方式。

首先，我们可以将准则层（景色A、费用B、居住C、饮食D）的权重视为在选择旅游地时考虑每个因素的概率分布。这些权重代表了不同因素在决策过程中的相对重要性。例如，如果景色A的权重为0.25，那么可以理解为在选择旅游地时，有25%的概率会重点考虑景色因素。

接下来，对于方案层（P1、P2、P3），我们可以将每个城市在不同准则下的权重视为在该准则下选择该城市的条件概率。例如，如果城市P1在景色A下的权重为0.637，那么可以理解为在重点考虑景色因素的情况下，选择城市P1的概率为63.7%。

然后，我们可以结合准则层的权重和城市在不同准则下的权重，来计算选择每个城市的总概率。这个总概率可以看作是在考虑所有因素的情况下，选择该城市的综合可能性。具体的计算方法是将每个准则下的条件概率与该准则的权重相乘，然后将所有准则下的结果相加。

需要注意的是，这里的概率解释仅仅是为了提供一种直观的理解方式，并不代表实际的随机事件发生的概率。在实际应用中，AHP的权重更多地反映了不同因素和城市之间的相对重要性关系，用于指导决策过程。

然而，从某种程度上说，这种概率解释也有一定的合理性。因为如果一个城市在某个重要准则下的权重较高，那么它在综合评估中得分也会相应较高，从而被选为最佳旅游地的可能性也就更大。这与我们日常决策中的直观感受是一致的。

因此，虽然将AHP的权重直接等同于概率可能存在一些概念上的混淆，但从概率的角度出发来解释权重和选择过程，确实有助于我们更直观地理解层次分析法的决策逻辑。

层次分析法与PageRank的联系和区别

联系：

两者都涉及到了矩阵运算和权重计算。

两者都用于评估或排序一组对象（网页或方案）。

区别：

目的不同：PageRank旨在根据网页之间的链接关系评估网页的重要性，而层次分析法旨在根据多个准则评估不同方案的相对优劣。

矩阵构造不同：PageRank中的转移矩阵是基于网页之间的链接关系构造的，而层次分析法中的判断矩阵是基于不同方案在特定准则下的相对重要性构造的。

一致性要求不同：层次分析法需要进行一致性检验以确保判断矩阵的合理性，而PageRank则没有这样的要求。因为PageRank的转移矩阵是基于实际的链接关系构造的，所以不需要进行一致性检验。

应用场景不同：PageRank主要应用于搜索引擎优化和网络分析领域，而层次分析法则广泛应用于多准则决策问题中，如项目管理、资源分配等。

层次分析法是一种强大而实用的决策工具。它通过将复杂的决策问题简化为层次分明的结构，使决策者能够清晰地看到各因素的重要性和影响程度。无论是个人决策还是团队决策，层次分析法都能提供有力的支持和指导。通过学习和应用层次分析法，我们可以更加理性、系统地做出明智的决策。