吴正宪《方程的意义》

【教学实录】

一、提出问题，激发欲望

师：今天，吴老师和大家一起来学数学。我们一起来认识方程。（板书课题）你们对方程有什么认识或理解呢？或者还想知道什么？

生：方程是一个算式。

生：方程是什么？

生： 方程是怎样的数学公式呢？方程是谁发明的呢？

生：学习方程有什么用呢？

师：方程是什么，学习方程的作用，大家真会提问题！看来同学们对方程有一定的了解，同时也有一丝期待！今天我们一起来研究方程。

（评析：开门见山引入课题，一石激起千层浪：一个问题，无数踊跃的回应。通过课堂开放，了解了学生的生活经验和知识基础，引发了学生的思考，激发了学生的学习需要。）

二、创设情境，体验感知

师：看，我要给大家介绍一个很重要的朋友。( 吴老师揭开贴在黑板上的纸，露出精美的教具天平，学生不约而同地发出哇的声音) 天平是称（生齐说：很轻）物体的质量。要是左边重，天平就会——

生：向左边倒，倾斜。

师：要是右边重，天平就会向这边——

生：向右边倒，倾斜。( 吴老师如一个表演者在讲台上随着学生的回答而形象地表演着，学生也不约而同地拿出双手表演，感受到天平的直观，体会平衡的含义。)

师：现在老师拿300克的砝码，放到天平的一边，会怎么样？

生：会向右边倾斜。

师：我们要在天平的左边放上水果，谁上来放一放。（一位学生高兴地上台把一个香蕉教具放进天平左边的托盘上，香蕉的质量是120克）

师：这时天平会怎么样？

生：向右倾斜。

师：你再放一个重180克的苹果。（生立刻放进一个180克的梨教具）这时天平会怎么样呢？

生：平衡了。

师：还可以怎么说？

生：相等了。

师：（指着黑板上的教具天平）右边是一个300克的砝码，左边放了一个120克和一个180克的水果，天平平衡了，你能用数学语言记录吗？（生写好算式，吴老师请其中的一个学生写好后贴到黑板上）如果把梨拿走，想象一下天平会怎样？如果把梨换成一个苹果，大家想象天平可能会出现的结果。请大家用数学语言记录下来( 学生把写好的算式贴在黑板上)，如果把天平里的物品换成一个核桃和20克的砝码，右边放一个50克的砝码，大家想象天平又将可能出现什么情况？（吴老师把学生写好的算式卡片贴在黑板上）把左边托盘里的物品换成三个苹果，这现象又该怎样记录呢？

生：3x=300。

生：x=100。

师：（微笑）把每个苹果看成x，3个苹果即为3x，这样更便于思考。

师：（用手势指一指天平里的物品质量）假如这些都知道了，换成已知的水果质量，这个式子能记录下来吗？

生：50+120=20+50×3。（吴老师把事先准备好的纸条贴在黑板上）

（评析：经历体验是最好的理解。吴老师首先选择了可视性好的放大版的教具天平，为学生的进一步理解打下了基础，学生通过对天平现象的猜测、比画和用数学语言记录、展示，在体验天平不平衡到平衡的过程中突出对相等关系的理解，从而顺利帮助学生实现从算术思维向代数思维的转变。同时充分理解等式与不等式，为接下来的分类和抽象出方程的意义埋下伏笔，落实了学生做数学的学习历程。）

三、分类研究，抽象归纳

师：（指着黑板上记录的许多算式）同学们，一会儿工夫，我们在天平里称不同的物品，称呀，称呀，称出了那么多算式。这些算式乱糟糟的，怎么办？

生：整理。

师：整理的办法就是……

生：分类。

师：回忆一下我们称物体的过程，有哪几种情况？（学生不断用手势比画：平衡、倾斜），根据这些现象，可以分成几类？（学生分组进行学习活动后汇报）

生：不相等的分成一类，含有字母的分成一类，只含有数的分成一类。

生：分成两类。不相等的分成一类，相等的分成一类。

师：谁上来分一分？（指名到黑板上分一分以后，对台下的其他同学说）虽然大家没有上来分纸条，但是每个同学都看得非常认真！

师：这么快就把乱糟糟的式子分好了。这些式子叫什么？（师用手势比画相等的式子）

生：相等的式子，等式。师：（顺势指另外一组算式）这组看着好像很陌生吧！这边叫等式，这边叫什么呢？

生：不等式。

师：关于不等式的知识今天我们暂时不研究，我们主要研究另一组等式，看看等式，你们还有新的思考吗？

生：（沉思了一会儿，有少数的学生举手了。再等待，更多的学生举手了）都是等式，有的只是数，有的却含有未知数x、方框和文字。

师：从这个角度看，这些等式又可以怎么分？

生1 ：含有文字的分成一类，不含文字的分成一类。

生2 ：分成3类。只含有数字的分成一类，含有字母的分成一类，含有文字和图形的分成一类。生3 ：分成两类。只含有数字的分成一类，含有字母、文字和图形的分成一类。

师：（追问生2）你同意吗？有道理吗？（师并没有急于揭示正确的分法，而是把思维的矛盾交给学生）

生2 ：他们的意思是x 和文字、方框都表示未知数，所以分一类，我同意, 我的错了。

师：你也不错啊，你是从表面看的，他们看得更深一点，不管是文字、方框还是字母，只要表示未知数我们就把它们分为一类。（师请两位学生圈出不同的两类，指着其中的一类）这一类等式，与原来我们见到的等式不一样。它可能叫什么？猜一猜。

生：方程。

师：这的确叫方程。那什么叫方程？大家商量商量。

生：（同桌商量后）不知道的用字母、文字等表示的算式叫方程。师：谁来指一指哪些是方程？( 学生上台指出方程，有的学生指出不等式也是方程，台下的许多学生大声表示不同意，台上的学生立即更改) 用自己的话概括一下，有没有抽象的能力？什么是方程？

生：等式里有未知数的是方程。

师：你们真行呀，总结得越来越好了。一起读一读书上是怎么说的，看看跟我们总结的一样吗？

（评析：吴老师引导学生从分类的需要入手，经历了根据式子的共性把式子分为等式和不等式两大类，将等式通过辨析进一步分为只含数字和含未知数两类，通过维恩图围圈呈现方程，步步抽象逼近直至学生在大量表象的支撑下完整表达出方程的意义，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位，体现了吴老师将学习的主动权真正还给学生的教学理念。）

四、辨析对话，深入理解

师: 刚才我们通过自主思考、小组活动基本了解了方程的含义，这就算认识方程了吗？没完。通过练习可以巩固我们学习的知识，大家看课件判断，认为是方程的用手势钩表示，不是方程的用手势叉表示。

a-15 ( ) 5y＝315( ) 9.8＋0.2＝10 ( )

n＋17＞27( ) 80＋□＝120( ) 36-X=9×3 ( )

师：请大家看第一题，开始判断。

生1：不是。

生2：是。

师：( 追问) 有没有不同意见的，和她交流一下吧？

生：你觉得什么叫方程？

生：含有未知数的等式叫方程。

生：这个式子具备这些条件吗？

生：有未知数。

生：它是等式吗？

生：它不是等式。

生：那这个式子是方程吗？

生：不是。

生：请你记住是方程的式子必须同时满足两个条件：含有未知数，同时还得是等式。

此时场下掌声不断，送给这段精彩的对话。

（评析：真理不辨不明，教师抓住课堂生成资源搭建思想交流和思维碰撞平台，留给学生充足的空间和时间，使学生对知识的认识理解在交流中得以加深，思维在碰撞中得以升华，认知能力在不断的自我教育中得以提高，学习的热情在互动

中得以点燃。）

五、逐步抽象，体验建模

师： 至此，同学们只认识了方程式是怎么样的，方程还有许多的知识，回顾一下我们开始的学习过程，我们称呀称呀，谁帮的忙？

生：天平！

吴老师边说边寻找地方把天平藏起来。学生笑着看老师到底要把天平藏到何处，吴老师把天平最后送到了一位听课的教师处藏起来，并说已经把这个大天平化作55个小天平送到孩子们的心中。

师：你心中有天平吗？在哪儿呢？（学生用手势比画示意在自己心里）现在看看天平是否在你心中。

（课件出示下图，请学生用数学语言来描述图意）

生：一个水壶的水先倒满一个杯子。

师：提醒大家解决问题的第一步是统观全局。

生：（生马上更改为）一个水壶的水可以倒满两个热水瓶和一个水杯。

全班跟着教师的口述演示：一瓶倒满了，第二瓶也倒满了，水杯也倒满了。

师：你心中的天平到底在哪里呢？能用数学语言说一说吗？

生：两个热水瓶的盛水量＋200毫升=2000毫升。

师: 我们的要求是用数学的语言记录下来。

生：2000=200+2x。

师：这儿的x 表示什么我不懂。

生：x 是一个暖水瓶的盛水量。

师：你心中的天平就是这样的，体现的是什么关系？

生：等量关系。

师: 等量关系是非常重要的。还有其他方式吗？

生：2b+200=2000。

生：2z+200=2000。

师：我这样写可以吗？2y=2000（生齐说：减去200）它又表示什么意思？

生：一个水壶的水去掉一个水杯的水后就剩下两个暖水瓶的水。

师：同学们，你心中的天平被你调出来了！它帮你找到了问题中的——等量关系，这很重要。

师：（出示4块月饼称重的情境）一块月饼多重？

生：4x=280。

（评析： 借助直观教具抽象出方程的意义只是学习的开始，真正建立方程思想却需要一个漫长的体验、理解、感悟的过程，此过程离不开教师的有效引导。教师精心设计了学生熟知的两个等量关系情境图，通过从图中获取信息、发现等量关系、用自己语言表述、用含有未知数的等式表达的建模过程，使学生经历半抽象化的过程，深化了学生关于方程意义的理解，为学生从算术思维向代数思维的过渡做好铺垫，孕育了方程思想的种子。）

六、联系生活，创新提升

师：大家会写一个方程了吗？

生：x+20=100。

师：你们能根据这个方程讲一个数学故事吗？

（数学课上还要讲故事，学生惊讶了一下后立即投入故事编撰工作中）

生：妈妈带了100元到超市买了一些东西，还剩20元。妈妈买了多少元钱的东西？

师：这样的故事多不多？到哪里去找呢？

生齐说：生活中！

（评析：让方程回归生活，在身边寻找方程，把抽象的方程变得五彩缤纷、生动有趣；让学生换个思路理解方程，为方程增添生命活力，不但加深和丰富了对方程意义的理解，而且可以使学生真正感受和体会数学的魅力和价值，从而培养创新意识和探索能力，提高学习兴趣，增强学习信心。）

师：铃声已响，有收获吗？把收获回家说给爸爸

妈妈听一听吧。下课了，老师特别想听听你们的感受。

生：我学到了什么叫方程，还找到了心中的天平！

师：恭喜你，今天有那么多收获！

生：感谢吴老师，感谢所有的老师。

师：谢谢你啊！（这名学生对着吴老师深深地鞠了一躬！吴老师也对着孩子深深地鞠了一躬！全场报以热烈的掌声）

师：你们的数学老师在哪儿？（数学教师站起来示意，吴老师对着那位数学教师深深地鞠了一躬：谢谢您，周老师，感谢您培养了这么多优秀的学生！）

师：我们要永远心存感激！感谢父母、感谢老师、感谢身边所有的人！

此时有一名女孩再也按捺不住，抢了话筒含着泪水对吴老师说道：谢谢您，吴老师。我一定考到北京去看您！吴老师一把抱住女孩说道：我一定在北京等您！