极限计算的常见方法：典型问题与习题

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极限计算的常见方法：典型问题与习题

2024-05-23 09:49| 来源: 网络整理| 查看: 265

付费咨询简介：好物推荐01（20230822）：

《经典数论的现代导引》蔡天新编著出版社：科学出版社ISBN：9787030687548版次：1商品编码：13309812品牌：科学出版社（SCIENCE PRESS）包装：平装开本：16开出版时间：2021-06-01用纸：胶版纸页数：296字数：373000正文语种：中文内容简介经典数论的主要内容既包括整数理论、同余理论、一次到n次剩余方程、丢番图方程、佩尔方程、连分数、原根与指数，也包括费尔马-欧拉定理、威尔逊-高斯定理、秦九韶定理（中国剩余定理）、勒让德符号与二次互反律、表整数为平方和、荷斯泰荷姆定理等.此外，它还伴随着遐迩闻名的完美数问题、同余数问题、费尔马大定理、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想、欧拉猜想、卡塔兰猜想、华林问题、3x+1问题、BSD猜想、abc猜想等.本书以一种特殊的方式（每节配以引人入胜的补充读物）把这些素材串联起来，再通过引入加乘方程、形素数、平方完美数、默比乌斯函数指数、椭圆曲线等新概念和方法，拓广了包括希尔伯特第8问题在内的经典数论问题和猜想.与此同时，几乎每个章节都提出或留有深浅不一的新问题和新猜想.且在第1—5章每章习题后以二维码形式链接了该章习题参考解答，供读者查阅.

《解析与概率数论导引》出版社：高等教育出版社ISBN：9787040294675版次：1商品编码：10486744品牌：高等教育出版社（HIGHER EDUCATION PRESS）包装：平装开本：16开出版时间：2011-01-01用纸：胶版纸页数：600字数：750000正文语种：中文内容简介　　《解析与概率数论导引》是关于解析与概率数论的优秀著作，是不可或缺的参考书，其要求的预备知识仅限于普通本科和硕士课程。《解析与概率数论导引》为学生和青年学者提供该学科系统、完整和自洽的介绍；同时在多个中心论题上为有经验的学者起工具书的作用。《解析与概率数论导引》的指导思想偏重于方法而非结论，它的价值远远超出了数论的范围。各章还附有注记以及三百多道难度各异的习题，其中某些甚至达到了研究的高度。《解析与概率数论导引》的前一版曾翻译成英文，如今已经是经典作品。《解析与概率数论导引》是在法文版第三版基础上翻译的。相对第一版作了更新，补充了大量内容，特别地，加进了一些未发表的新成果、数论许多分支的新观点、以及新的参考文献。“作者为数论作出了重要的贡献，他对数论的娴熟掌握体现在这本清晰、优雅和准确的著作之中”。作者简介G.特伦鲍姆，大学（即南锡第一大学）教授，Elie Cartan研究所数论组组长，著名数学家。他撰写了将近150篇数论和分析方面的学术论文，是5本数学专著的作者。（本介绍由作者提供）

前言/序言

本书基于笔者15年来在波尔多、巴黎及南锡讲授的研究生课程，在1990年Elie Cartan研究所出版社版的基础上修改、更新、增订而成，其英文版由剑桥出版社发行。此书旨在给年轻数学工作者提供自洽的算术问题的分析方法导引，同时在一些基本问题上可供更有经验的研究人员查阅，起到工具书的作用。这样的目标必然导致要有所取舍。本书的原则是在力所能及的前提下尽量从审美的角度来作选择。上述双重目标促使了在各章中采用正文-注记-习题的传统模式。正文中的命题一般都有详细证明，有时还附有参考文献，以帮助读者初读时建立整体认识。相反地，注记包括与正文相关的、虽不应忽视但在泛读时可以略过的定理或证明。习题兼有两种功能：一部分经典的习题帮助读者掌握学到的概念；而另一部分习题则是真正的研究成果，有时甚至是新近发现的成果，它们主要集中在第三部分。当前教程附带的习题有为难读者之势。笔者曾天真地认为，通过精心编写不需巧妙构造或精湛技巧便可解答的习题可以避免这一点。然而第一版发行以后收到的许多对习题答案的询问说明了这很可能是不切实际的幻想。于是笔者与吴杰合作撰写了习题答案，以飨读者。然而，习题中未解决的问题只是少数；另外，习题所涉及的结论都是最常见的，并指明了关键步骤。就算不努力求解或不看答案，习题部分也可作为非正式的参考文献。

《初等数论及其应用》（第六版）出版社：机械工业出版社ISBN：9787111486978版次：1商品编码：11670564品牌：机工出版包装：平装丛书名：华章数学译丛开本：16开出版时间：2015-03-01用纸：胶版纸页数：489

内容简介　　《初等数论及其应用（原书第6版）》是数论课程的经典教材，自出版以来，深受读者好评，被美国加州大学伯克利分校、伊利诺伊大学、得克萨斯大学等数百所名校采用。　　《初等数论及其应用（原书第6版）》以经典理论与现代应用相结合的方式介绍了初等数论的基本概念和方法，内容包括整除、同余、二次剩余、原根以及整数的阶的讨论和计算。　　《初等数论及其应用（原书第6版）》特色：　　经典理论与现代应用相结合。通过增强实例和练习，将数论的应用引入了更高的境界，同时更新并扩充了对密码学这一热点论题的讨论。　　内容与时俱进。不仅融合了新的研究成果和新的理论，而且还补充介绍了相关的人物传记和历史背景知识。　　习题安排别出心裁。书中提供三类习题：第一类是由易到难的普通习题，第二类是富有挑战的计算和研究题，第三类是程序设计题。这使得读者能够将数学理论与编程技巧实践联系起来。此外，本书在上一版的基础上对习题进行了大量更新和修订。

作者简介　　Kenneth H. Rosen，1972年获密歇根大学数学学士学位，1976年获麻省理工学院数学博士学位，1982年加入贝尔实验室，现为AT&T实验室特别成员，国际知名的计算机数学专家。Rosen博士对数论领域与数学建模领域颇有研究，并写过很多经典论文及专著。除本书外，还著有经典著作《离散数学及其应用》（中文版和影印版均已由机械工业出版社引进出版）。

$\begin{eqnarray}极限计算的&常见方法：&典型问题与习题\\&江雪枫&\\（家里蹲大学&数学与应用&数学系）\end{eqnarray}$

请问这道极限怎么做? - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/613367887/answer/3129587372

该极限怎么处理？ - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/601262798/answer/3081507012

如何用夹逼准则计算下面这个极限？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/585097534

这两个极限如何证明？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/563524058

这个数列能求出极限的精确值吗？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/511949552

下面这个极限可以使用海涅定理吗？ - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/613448555/answer/3130926386

这个无穷级数的和如何计算？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/612816854

lim（x→0）（1-cosxcos2xcos3x）/x^2中的“1”为什么不能换成cosx? - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/617784663/answer/3170682599

这个1/2n^是怎么化出来的，求求了？ - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/617934652/answer/3172254604

这个函数取整极限如何证明？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/618573836

求极限什么时候不可以用泰勒? - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/619434772/answer/3185569412

这个级数怎么做? - 江雪枫的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/619317074/answer/3187090663

摘要：

本文简述了极限计算的常见方法，并用一些典型的问题及其解答论述了极限计算的常用知识点与常用技巧，最后用一些典型的习题作了总结。

正文： $\S1引言$

极限是高等数学中的重要而基本的概念，是极限方法的理论基础，极限计算与证明是高等数学的重要题型，它涉及的知识点众多，技巧繁杂，值得好好梳理一番。本文总结了极限计算的常见方法与技巧，并用一些典型问题与习题作了例证与说明。

定义01设函数 f(x) 是定义在区间上的实值函数， $x_0\in\mathbb{I}$ 。

如果存在常数，使得：对 $\forall\varepsilon0$ ，存在 $\exists\delta0$ ，当 $\mid x-x_0\mid\delta$ 时，恒有：

$\hspace{3cm}\color{red}{\boxed{\mid f(x)-A\mid\varepsilon}}$

则称函数 f(x) 在趋向 x_0 的极限变化过程中以为极限，记作： $\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A}}$

类似地，可以定义： $\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A}}$ $\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A}}$ $\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A}}$ 等概念。

注2常值函数的极限是常数。

定理03（极限的四则运算法则）设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$ 存在有限，则有：

（1） $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=A\pm B$

（2） $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=A\cdot B$

（3）若 $B\ne 0$ ，那么： $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ B}$

证明：参见任意一本《高等数学》或《数学分析》教材。

定理04设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$ ， g(x) 在 $U^0(x_0,\delta)$ 上有界，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=0$

两个重要极限：

（1） $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

（2） $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\approx2.71828182845$

$\S2常见方法与技巧01$ A、利用极限的定义和四则运算法则计算极限。

例05试证： $\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-x+1}{x^2+1}=1$

证1（利用定义）对 $\forall\varepsilon0$ ，存在 $\exists\delta=\varepsilon0$ ，使得当 $\mid x-0\mid =|x|\delta$ 时，恒有：

$\hspace{3cm}\begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\left|f(x)-1\right|}}&=&\left|\frac{x^2-x+1}{x^2+1}-1\right|\\&=&\left|\frac{-x}{x^2+1}\right|\\&\leq&|x|\\&&\delta=\varepsilon\end{eqnarray}$

所以就有： $\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-x+1}{x^2+1}=1$

证2（利用四则运算法则）： $\\ \hspace{3cm}\begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}}&=&\frac{\lim\limits_{x\to0}(x^2-x+1)}{\lim\limits_{x\to0}(x^2+1)}\\&=&\frac{\lim\limits_{x\to0}x^2-\lim\limits_{x\to0}x+1}{\lim\limits_{x\to0}x^2+1}\\&=&\frac{0^2-0+1}{0^2+1}\\&=&\color{red}{\boxed{1}}\end{eqnarray}$

B、利用两个重要极限和四则运算法则计算极限：

例06求极限： $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)}{x-\frac{\pi}{6}}=?$

解：由重要极限可得： $\\ \hspace{3cm}\begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)}{x-\frac{\pi}{6}}}}&\overset{y=x-\frac{\pi}{6}}{=}&\lim\limits_{y\to0}\frac{\sin2y}{y}\\&=&2\lim\limits_{y\to0}\frac{\sin2y}{2y}\\&=&2\times1\\&=&\color{red}{\boxed{2}}\end{eqnarray}$

例07求极限： $\lim\limits_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}=?$

解：由重要极限可得： $\\ \hspace{3cm}\begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}}}&=&\lim\limits_{x\to0}\left((1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right)^{\frac{\sin x}{x}}\\&=&\left(\lim\limits_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right)^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}\\&=&e^1\\&=&\color{red}{\boxed{e}}\end{eqnarray}$

C、利用极限的夹逼准则计算极限：

定理08（夹逼定理）设函数 f(x),g(x),h(x) 满足 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)(x\in U^0(x_0,\delta))$

而且有： $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A$ ，则有： $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$

例09求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)=?$

解：令 $f(n)=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}$

构造：

$g(n)=\frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}$

$h(n)=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1}$

则易见有： $g(n)\leq f(n)\leq h(n)(n\in\mathbb{N})$ ，而且有：

$\hspace{3cm}\begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}g(n)}}&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2+n}\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+n}\\&=&\color{red}{\boxed{\frac12}}\end{eqnarray}$

$\hspace{3cm}\begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}h(n)}}&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1}\right)\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2+1}\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+1}\\&=&\color{red}{\boxed{\frac12}}\end{eqnarray}$

所以由夹逼定理就得到：

$\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}f(n)=\frac12$

D、对数求极限法：

这种方法主要用于处理 $1^{\infty}$ 型的未定式。

例10求极限： $\lim\limits_{x\to0}\left(1+\ln(1+\sin^2x)\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}=?$

解：由无穷小量替换和对数求极限法可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}\left(1+\ln(1+\sin^2x)\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}}}&=&e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+\ln(1+\sin^2x))}{1-\cos x}}\\&=&e^{\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+\sin^2x)}{\frac12x^2}}\\&=&e^{2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^2x}{x^2}}\\&=&\color{red}{\boxed{e^2}}\end{eqnarray}$

好物推荐02（20230828）：

店铺：木垛图书旗舰店出版社：机械工业ISBN：9787111522003商品编码：10356742431品牌：木垛开本：16出版时间：2016-01-01基本信息商品名称：数论概论(原书第4版)/华章数学译丛作者：(美)约瑟夫H.西尔弗曼|译者:孙智伟//吴克俭//卢青林//曹惠琴定价：59出版社：机械工业ISBN号：9787111522003

其他参考信息（以实物为准）

出版时间：2016-01-01印刷时间：2016-01-01版次：1印次：1开本：16开包装：平装页数：287内容提要约瑟夫H.西尔弗曼编著孙智伟、吴克俭、卢青林、曹惠琴编译的《数论概论(原书第4版)/华章数学译丛》讲述了有关数论大量有趣的知识，以及数论的一般方法和应用，循序渐进地启发读者用数学方法思考问题，此外还介绍了目前数论研究的某些前沿课题。本书采用轻松的写作风格，引领读者进入美妙的数论世界。不断激发读者的好奇心。并通过一些精心设计的习题来培养读者的探索精神与创新能力。本书讲解清晰，语言生动，易于理解，适合作为高等院校相关专业学生的数论入门书，也可以作为有志于学习数论的读者的自学读物。

作者简介约瑟夫H.西尔弗曼，(Joseph H．Silverman)拥有哈佛大学博士学位。他目前为布朗大学数学教授，之前曾任教于麻省理工学院和波士顿大学。1998年，他获得了美国数学会Steele奖的著述奖。获奖著作为《The Arithmetic of Elliptic Curves》和《Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves》。他的研究兴趣是数论、椭圆曲线和密码学等。

《复分析》L.阿尔福斯编著出版社：机械工业出版社ISBN：9787111703365版次：1商品编码：13724724品牌：机工出版包装：平装丛书名：华章数学译丛开本：16开出版时间：2022-04-01用纸：胶版纸页数：260

编辑推荐适读人群：高等院校高年级本科生以及研究生复分析研究复自变量复值函数，是数学的重要分支之一，同时在数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）以及自然科学的其他领域（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）都有着重要的应用。虽然本书的诞生是20世纪50年代的事情，但是，深贯其中的严谨的学术风范以及针对不同时代所做出的切实改进使得它历久弥新，成为复分析领域历经考验的一本经典教材。本书作者在数学分析领域声名卓著，多次荣获国际大奖，这也是本书始终保持旺盛生命力的原因之一。

内容简介全书共分成8章，主要包括：复数、复函数、作为映射的解析函数、复积分、级数与乘积展开、共形映射、狄利克雷问题、椭圆函数以及全局解析函数。此外，大部分章节后都有练习，便于学生掌握书中内容，其中加上“*”号的练习供学有余力的学生选做。本书假定读者具备大学二年级的数学基础，可作为高等院校高年级本科生以及研究生的教材和参考书。

作者简介拉尔斯·V. 阿尔福斯（Lars V. Ahlfors）生前是哈佛大学数学教授。他于1924年进入赫尔辛基大学学习，并在1930年于芬兰著名的土尔库大学获得博士学位。期间他还师从著名数学家Nevanlinna共同进行研究工作。1936年荣获菲尔茨奖。第二次世界大战结束后，他辗转到哈佛大学从事教学工作。1953年当选为美国国家科学院院士。他又于1968年和1981年分别荣获Vihuri奖和沃尔夫奖。他的著述很多，除本书外，还著有Riemann Surfaces和Conformal lnvariants等。

《Complex Analysis复分析》Stein编著店铺：悦悦图书旗舰店出版社：世界图书出版公司ISBN：9787510040542商品编码：10044131052945目录前言 vii引言 xv 第一章复分析预备知识 11、复数和复平面 11.1基本性质 11.2收敛性 51.3复平面中的集合 52、复平面上的函数 82.1连续函数 82.2解析函数 82.3幂级数 14 、沿曲线的积分 184、练习 24第二章Cauchy定理及其应用 32 1、Goursat定理 342、原函数的局部存在性和圆盘上的Cauchy定理 373、积分计算 414、Cauchy积分公式 455、进一步的应用 535.1Morera定理 535.2解析函数序列 535.3用积分定义的解析函数 555.4Schwarz反射原理 575.5Runge逼近定理 606、练习 647、问题 67第三章亚纯函数和对数 711、零点和极点 722、留数公式 76 2.1例子 773、奇点和亚纯函数 834、幅角原理及其应用 895、同伦和单连通区域 936、复对数 977、Fourier级数和调和函数 1018、练习 1039、问题 108

第四章Fourier变换 111

1、类 $\mathfrak{F}$ 113

2、 $\mathfrak{F}$ 上Fourier变换的作用 114

3、Paley-Wiener定理 121

4、练习 127

5、问题 131

第五章整函数 134

1、Jensen公式 135

2、有限阶的函数 138

3、无穷乘积 140

3.1、推广 140

3.2、例子：正弦函数的无穷乘积公式 142

4、Weierstrass无穷乘积 145

5、Hadamard分解定理 147

6、练习 153

7、问题 156

第六章伽马函数和Zeta函数 159

1、伽马函数 160

1.1、解析延拓 161

1.2、 $\Gamma$ 的进一步性质 163

2、Zeta函数 168

2.1、函数方程和解析延拓 168

3、练习 174

4、问题 179

第七章Zeta函数和素数定理 181

1、Zeta函数的零点 182

1.1、对 $\frac{1}{\zeta(s)}$ 的估计 187

2、对函数 $\psi$ 和 $\psi_1$ 的简化 188

2.1对 $\psi_1$ 渐进性的证明 194

关于交换二重和的注记 197

3、练习 199

4、问题 203

第八章共形映射 205

1、共形等价性和例子 206

1.1、圆盘和上半平面 208

1.2、进一步的例子 209

1.3、带形中的Dirichlet问题 212

2、Schwarz引理，圆盘和上半平面中的自同构 218

2.1、圆盘中的自同构 219

2.2、上半平面中的自同构 221

3、Riemann映照定理 224

3.1、必要条件和定理的阐述 224

3.2、Montel定理 225

3.3、Riemann映照定理的证明 228

4、多边形上的共形映射 231

4.1、一些例子 231

4.2、Schwarz-Christoffel积分 235

4.3、边界行为 238

4.4、映射公式 241

4.5、回到椭圆积分 245

5、练习 248

6、问题 254

第九章椭圆函数引论 261

1、椭圆函数 262

1.1、Liouville定理 264

1.2、Weierstrass $\mathfrak{\varphi}$ 函数 266

2、椭圆函数和Eisenstein级数的模特征 273

2.1、Eisenstein级数 273

2.2、Eisenstein级数和因子函数 276

3、练习 278

4、问题 281

第十章 $\Theta$ 函数的应用 283

1、对Jacobi $\theta$ 函数的乘积公式 284

1.1、进一步的变换律 289

2、生成函数 293

3、关于平方和的定理 296

3.1、关于两平方定理 297

3.2、关于四平方定理 304

4、练习 309

5、问题 314

附录A：渐进性 318

1、Bessel函数 319

2、Laplace方法，Stirling公式 323

3、Airy函数 328

4、分划函数 334

5、问题 341

附录B：单连通性和Jordan曲线定理 344

1、单连通性的等价公式 345

2、Jordan曲线定理 351

2.1、Cauchy定理的一般形式的证明 361

注记和参考文献 365

文献目录 369

符号表 373

索引 375

$\S常见方法与技巧02$ E、L.Hospital（洛必达）法则：

定理11（ $\frac00$ 型未定式）设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$

f(x),g(x) 在 x_0 的某空心邻域 $U^0(x_0,\delta)$ 中可导，且

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$ （为有限实数或 $\pm\infty$ ）

则有 $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$

例12求极限： $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\tan x}=?$

解：由洛必达法则可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x-\tan x}}}&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{1-\sec^2 x}\\&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac12x^2}{-\tan^2x}\\&=&-\frac12\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x}{\tan x}\right)^2\\&=&\color{red}{\boxed{-\frac12}}\end{eqnarray}$

F、用Taylor展开式计算极限：

常见函数的Taylor级数展式：

$e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac1{n!}x^n$

$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3+\cdots+(-1)^{n-1}\frac1nx^n+\cdots=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac1nx^n$

$\sin x=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots$

$\cos x=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac1{(2n)!}x^{2n}=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+\cdots+(-1)^n\frac1{(2n)!}x^{2n}+\cdots$

例13求极限： $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(e^x-x)-2\sin^2x}{1-\cos x}=?$

解：由Taylor级数展式可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(e^x-x)-2\sin^2x}{1-\cos x}}}&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x+\frac12x^2+o(x^2)-x)-2\left(x-\frac16x^3+o(x^3)\right)^2}{1-\left(1-\frac12x^2+o(x^2)\right)}\\&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac12x^2+o(x^2)-2x^2+o(x^2)}{\frac12x^2}\\&=&1-4\\&=&\color{red}{\boxed{-3}}\end{eqnarray}$

G、用Stoze公式计算极限：

定理14（ $\frac{\infty}{\infty}$ 型的未定式）设序列 $\{a_n\}和\{b_n\}$ 满足

（1） $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=+\infty$

（2） $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}-b_{n+1}}{a_n-b_n}=A$ （为有限实数或 $\pm\infty$ ）

则有： $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}-b_{n+1}}{a_n-b_n}=A$

例15问题：设 $m\geq2$ ，试求下列极限：

$\hspace{3cm}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1^m+2^m+\cdots+n^m}{n^m}-\frac{n}{m+1}\right)=?}}$

解：由Stoze定理可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1^m+2^m+\cdots+n^m}{n^m}-\frac{n}{m+1}\right)}}&\\=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(m+1)\sum\limits_{k=1}^mk^m-n^{m+1}}{(m+1)n^m}\\=\frac{1}{m+1}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\left((m+1)\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^m-(n+1)^{m+1}\right)-\left((m+1)\sum\limits_{k=1}^mk^m-n^{m+1}\right)}{(n+1)^m-n^m}&\\=\frac1{m+1}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(m+1)(n+1)^m-((n+1)^{m+1}-n^{m+1})}{(n+1)^m-n^m}\\=\frac1{m+1}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(m+1)\sum\limits_{k=0}^mC_m^kn^k-\left(\sum\limits_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^kn^k-n^{m+1}\right)}{\sum\limits_{k=0}^mC_m^kn^k-n^m}\\=\frac1{m+1}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(m+1)\left(n^m+mn^{m-1}+o(n^{m-1})\right)-\left(n^{m+1}+(m+1)n^m+\frac{m(m+1)}{2}n^{m-1}+o(n^{m-1})-n^{m+1}\right)}{n^m+mn^{m-1}+o(n^{m-1})-n^m}\\=\frac1{m+1}\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\frac{m(m+1)}{2}n^{m-1}+o(n^{m-1})}{mn^{m-1}+o(n^{m-1})}\\=\frac1{m+1}\frac{\frac{m(m+1)}{2}}{m}\\=\color{red}{\boxed{\frac12}}\end{eqnarray}$

H、用Stirling公式计算极限

定理16（Stirling公式） $n!=\sqrt{2n\pi}\left(\frac ne\right)^ne^{\theta_n}(这里0\theta_n\frac{1}{12n})$

例17求极限：设 $a_n=\frac{\sqrt{n}}{4^n}\binom{2n}{n}(n\in\mathbb{N})$ ，试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=?$

解：由Stirling公式可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n}}&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}}{4^n}\binom{2n}{n}\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}}{4^n}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^2}\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}}{4^n}\cdot\frac{\sqrt{2(2n)\pi}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}e^{\theta_{2n}}}{\left(\sqrt{2n\pi}\left(\frac ne\right)^ne^{\theta_n}\right)^2}\\&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n}}{4^n}\cdot\frac{2\sqrt{n}\sqrt{\pi}\cdot2^{2n}e^{\theta_{2n}}}{2n\pi \cdot e^{2\theta_n}}\\&=&\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}\\&=&\color{red}{\boxed{\frac1{\sqrt{\pi}}}}\end{eqnarray}$

I、用定积分的定义计算极限：

定理18（定积分的定义）：设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可积，则对于 [a,b] 的任意一个分划 : $\lambda：a=x_0x_1x_2\cdotsx_{n-1}x_n=b$ ，记 $\Delta x=\max\limits_{0\leq i\leq n-1}\{x_{i+1}-x_i\}$ ，

则有： $\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{\Delta x\to0}\sum\limits_{k=1}^nf(x_k)\Delta x_k$

例19试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}=?$

解：由定积分的定义可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}}}&=&\lim\limits_{n\to+\infty}\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\frac{\frac kn}{1+\left(\frac kn\right)^2}\\&=&\int_0^1\frac{x}{1+x^2}dx\\&=&\left.\frac12\ln(1+x^2)\right|_0^1\\&=&\color{red}{\boxed{\frac12\ln2}}\end{eqnarray}$

J、综合应用上述各种方法计算极限：

例20求极限： $\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(1+\sin^2t)dt}{x^3}=?$

解：由洛必达法则可得： $\\ \begin{eqnarray}\color{red}{\boxed{\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(1+\sin^2t)dt}{x^3}}}&=&\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+\sin^2x)}{3x^2}\\&=&\frac13\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^2x}{x^2}\\&=&\color{red}{\boxed{\frac13}}\end{eqnarray}$

$\S4部分习题总结：$

习题21试用极限定义证明： $\lim\limits_{x\to0}\frac{1-x^2-\cos x}{e^x-1-x}=?$

习题22试用极限的四则运算法则计算极限：设函数 f(x) 在点 x=x_0 处可导，

试计算极限： $\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=?$

习题23试利用两个重要极限计算下列极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\sin\frac{1}{n(n+1)}\right)^{n(n+1)}=?$

习题24利用对数取极限法计算： $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\int_0^1x^{n(n+1)}(1-x)dx}=?$

习题25利用夹逼定理计算极限： $\color{red}{\boxed{f(a)=\lim\limits_{n\to+\infty}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{ak^2}{n^3}\right)=?(a0)}}$

习题26设 a_00,a_10 ，序列 $\{a_n\}_{n=0}^{+\infty}$ 由递推关系 $a_{n+2}=8a_{n+1}+9a_n+9^n(n\in\mathbb{N})$ 给出，

试求极限： $\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_n}{n\cdot 9^n}=?}}$

习题27利用L.Hospital法则计算极限： $\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\ln(1+\tan t)dt}{x^4}=?$

$\color{red}{\boxed{习题28（\underline{\boxed{(\hspace{3cm})}）供题}}}$

试在正整数集合 $\mathbb{N}$ 中随机取一个整数，试求是合数的概率是多少？

习题29试求Taylor级数展式计算下列极限： $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-e^{\tan x}}{\ln(1+x)-x+\frac12x^2}=?$

$\color{red}{\boxed{习题30（\underline{\boxed{(\hspace{3cm})}）供题}}}$

试在正整数集合 $\mathbb{N}$ 中随机取两个整数 n,k ，试求 (n,k)=1 的概率是多少？

习题31试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{\left(1+\frac1n\right)^{n^2}}{e^{n-\frac12}}\right)^n=?$

习题32试求极限：设 $K_n=\frac{16^n}{27^n}\cdot\frac{\binom{3n}{n}}{\binom{2n}{n}}(n\in\mathbb{N})$ ，则 $\lim\limits_{n\to+\infty}K_n=?$

习题33试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n^2]{\prod\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}}=?$

习题34试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}}=?$

习题35试求极限： $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x\left(x^{1+\frac1x}-x^{1+\frac{1}{2x}}-\frac12\ln x\right)}{\ln^2x}=?$

习题36试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{\ln\left(\frac kn+\left(\frac kn\right)^2\right)}{n+k}=?$

习题37试求极限： $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k\ln(n+k)}{n^2+nk}-\ln n\cdot\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+nk}\right)=?$

习题38设，试求极限： $f(a)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_0^x\left(\ln(a+\arcsin t)-\ln(a+\arctan t)\right)dt}{(e^x-1)(\sin x-\tan x)}=?$

习题39试证下述极限：

$\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^{\frac1n}\cdot e^{-\frac tn}dt\right)^{n^2}=\boxed{e^{\frac{\pi^2}{12}}}=2.2761081516257\cdots0}}$

习题40试证下述极限：

$\color{red}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{k^2\ln(n+k)}{n^2(n+k)}-\ln n\cdot\sum\limits_{k=1}^n\frac{k^2}{n^2(n+k)}\right)=\boxed{\frac54-2\ln2+\frac12\ln^22}=0.1039321458392\cdots0}}$

参考文献：

【1】

【2】

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