如何理解定积分原始定义中的极限符号？

对楼主能主动性的来思考定积分定义的问题，表示很赞！

为了系统型的解释此问题，我将从定积分的原始定义到精确的定义，逐步讲解，并将此推导过程起名为：

下面给出定积分的原始定义和精确定义：

看到上面这张图，我想我们至少在心中有这样的三个疑问：

其中第一个疑问，就是楼主提问的，为什么会出现lambda趋于0，但是楼主所言的“所以这个极限并不是所学过的一元函数极限”这句话是不对的，判断是否为一元，看的是函数f(x)中未知量的个数，因此，这依旧是一个一元函数。

下面我将针对这三个问题做出解答：

要想明白第一个问题，首先得明白定积分的推导过程，简称为四步动作：分割、代替、求和、取极限。

让我算一个定积分，需要给我两样东西：一是被积函数，二是积分区间。

那么，给出这两样东西后，接下来要思考：什么是分割呢？什么叫做任意分？

比如说上面这张图，要想对a到b区间进行分割，所有的老师都会这么说：“对这个区间我可以任意分成n份，当分得足够小的时候，群殴就可以进行第二步的代替”！

那么什么叫任意分呢？

比如说我可以等比例分割，我也可以保证某一个区间不变，然后将剩下的那个区间无限的分下去，就像下面这样：

综合上面这两张图，我们可以看到，对[a,b]区间进行分割，任意的分成n份，方法太多了。

分法有多种多样，我们该如何来衡量这些分割方式呢？如何来衡量这种分得足够小呢？

假如我用n趋于无穷来衡量这种“小区间的足够小”，那么万一碰见上图这种保持某一个区间不变，对剩下的一个区间无限次分割的方式，n趋于无穷就不能代表小区间的足够小，因为很显然，虽然[a,c]中确实很小，但是[c,b]很大。

因此，n趋于无穷承担不了“刻画区间分得足够小的使命”，只能借助于其他途径了。

找谁呢？

既然任意分 分的区间 有大的有小的,那我就让这当中分的最宽的那个区间，让它趋于0，这样就保证了所有的小区间都分得足够小了！而这个最宽的区间，就用字母lambda来表示！

第一步分割分好后，接下来就是第2步代替了。

永远记住，我的第一步分割的目的就在于第二步的代替！

那么，代替什么呢？用谁代替谁呢？代替是为了干啥？

当我分得足够小的时候，我这时候在小区间内任意取一个点，当我把这个点代入到被积函数中时，这些点对应的函数值都不变！那么这时候就可以化曲为直！用小区间内任意取的那个点kesei(i)的函数值f(kesei i )来代表这个小区间的所有点的函数值（因为这时候任意点对应的函数值都一样）！

有人问，谁保证了你每一个点对应的函数值都一样了？谁给你的这个权利？

答：分割。第一步的分割分的足够小的时候，分得让每一个小区间都趋于0时，就可以保证第二步的代替！就可以保证第2步的化曲为直！

需要注意的是：

定积分原始定义中的右端，因为是任意分成了n份，每一份里面的kesei(i)都是任意取的，小区间

delta X(i)也是任意分的，所以这就造成右端有无穷多项！这个求和压根就不是像第一章里面学的单一的求一个极限那样，而是无穷多项的极限加在一起！

你，没法求，无能为力！

这时候，一切都显得那么苍白无力！

看到这里，作为大学里应付日常的期末考试基本可以过关了，但是对于考研的学生来讲，远远不够，因为大纲中要考“定积分的定义”！

你这不是为难人吗？你怎么考？按原始定义我没法求这无穷多项的极限和？

我能怎么办，我也很绝望啊！

别急，命题老师早就替你们想好了，即从一般到特殊！

既然是任意分，分的足够小的时候，我就可以任意的选一个点进行代替了，那么本着“从一般到特殊”的原则，我这时候就取特殊的分割，即n等份的分割！每一份的小区间宽度都一样！都是(b-a)/n 这么宽。

而我这时候的代替，我也取特殊的代替，怎么个特殊法了？

之前是在一个分的足够小的小区间内 任意 的取一点，那好，老子这时候就看上右端点了，我每次就只取每个小区间的右端点，既然你每一个点代入到被积函数中都一样，那我这时候就取这个右端点，右端点代进去肯定也要满足呀！

这，就是定积分的精确定义！

这，就是考研里面考的定积分的精确定义！

这，就是定积分从原始定义 到 精确定义走的那两步！

简而言之，一个特殊的分割，一个特殊的代替，就扭转了一个无法计算、无法考察的定积分定义考点 的历史！

干得漂亮！

需要提醒的是： 这里并没有表达：不可积的情况下取特殊分割法会导致可积。

正确的逻辑先后顺序是：既然你本身就是可积（定积分存在）的，而分割的方式有无穷多种，那么我取特殊的分割方式肯定也是满足的啊！

看到这里，想必你就明白了第一张图的“红色大问号”到底是怎么一回事了！

如果你还想检验下自己是否真正明白了，可以继续往下看，宝刀君为你献上2道小菜！不妨试着做下！

请看第一道题：

大部分学生在这里思考的问题是，给我一个题，

我怎么判断它是用定积分定义做呢？

还是用夹逼定理？这类题有什么样的特征？

即使我判断出来用定积分定义做，那么上下限怎么定？被积函数怎么定？

别害怕，我在之前的文章中，已经解答了这个问题，可以参考我之前写的这个帖子：利用定积分定义求极限的原理与套路，你会了吗？ - 知乎专栏

再看一道题：

答案如下：

恐怕这道题让某些学生费劲了，好奇怪啊，你不是说经常爱考[0,1]区间上的吗？这道题咋就变了呢？算了半天，还以为自己算的不对，核对答案后，哎呦，恍然大悟！

定积分的定义，是刚开始学习高等数学遇到的一个难理解的点，但是只要把这种思路，把这种“分割、代替、求和、取极限”的思路搞懂了，进而弄明白了考研中对“分割”和“代替”这两步的改进动作，那么就可以举一反三，就可以理解二重积分的精确定义了！

比如，2010年考的这道二重积分定义的选择题，同样的处理思路，宝刀君也对此作了分析，戳这里：考二重积分概念哪年强？2010年快到碗里来！ - 知乎专栏

宝刀君曰：

定积分定义的这两步的改进工作呐

于考官，这是费尽心思的琢磨考点，精神可嘉！

于考生，这是绞尽脑汁的思考定义，必须做这个思考工作！

于我这个平凡的考研培训教师而言，夹在这两者之间，需要苦苦的思考对方的意图，又得为学生思考良策！

*****************************************************************************************************

哈喽，大家好！我是宝刀君，微信公众号：考研摆渡人宝刀君，ID:BDJ0501，专注考研数学、自动控制原理的辅导，有料、有趣、有深度！

我的知识点讲解文章会首发在微信公众号

在那里，内容展现形式会更精彩（有音乐、有短视频）~

在那里，每天有全国各地的小伙伴们留言和我互动~

在那里，你可以通过查看历史消息，系统的学习知识点~

欢迎大家的关注~

如果您觉得我的文章对您理解知识点有帮助，麻烦伸出可爱的指头顺手帮我 点个赞 ，鼓励我继续创作，如果您这样做了，非常感谢~~~